O merkezli 50 m yarıçaplı çembersel pistin K noktasındaki araç, şekildeki yörüngeyi izleyerek L noktasına 15 s’de ulaşıyor. Buna göre aracın ortalama sürati kaç m/s’tir? (π = 3 alınacak)

YKS TYT
1

17675369773892583655811215934255
176753697738925836558112159342551200×1600 138 KB

2

Resimdeki Soru: Dairesel Pistte Ortalama Hız Hesaplama

Önemli Noktalar

  • Dairenin yarıçapı r = 50 m
  • Araç, K noktasından başlayıp çevreyi 15 saniyede tamamlıyor
  • Ortalama hız: Toplam yolun toplam zamana oranı
  • Dairenin çevresi formülü: C = 2πr

Bir aracın dairesel bir pistte bir turu tamamlaması sırasında ortalama hızını hesaplamak için, aracın kat ettiği yolu tam turun çevresi olarak alırız. Yarıçap r = 50 m olduğuna göre çevre uzunluğu:

$$ C = 2 \pi r = 2 \times 3 \times 50 = 300 \pi \ \text{m} $$

Aracın bu yolu kat etme süresi t = 15 s olduğuna göre:

$$ \text{Ortalama hız} = \frac{\text{Toplam yol}}{\text{Toplam zaman}} = \frac{300 \pi}{15} = 20 \pi \approx 62.8 \ \text{m/s} $$

Yani aracın ortalama hızı yaklaşık 62.8 m/s’dir.

İçindekiler

  1. Çember ve Dairenin Temel Formülleri
  2. Ortalama Hızın Tanımı ve Hesaplanması
  3. Örnek Problem Çözümü
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çember ve Dairenin Temel Formülleri

  • Yarıçap r, dairenin merkezinden çevresi üzerindeki noktalara olan uzaklıktır.
  • Çember çevresi (bir tur uzaklığı):
    $$ C = 2 \pi r $$
    Burada π yaklaşık olarak 3 alınabilir.
  • Dairenin alanı:
    $$ A = \pi r^2 $$ (bu soru için alan gerekmez, sadece çevre gerekiyor)

:light_bulb: Pro Tip: Çemberle ilgili problemler çoğunlukla çevre veya alan hesapları üzerinden ilerler. Ortalama hız ve ivme sorularında çevre önceliklidir.

Ortalama Hızın Tanımı ve Hesaplanması

Ortalama hız, alınan toplam mesafenin toplam zamana oranıdır. Özellikle dairesel hareketlerde:

  • Tam bir turda gidilen mesafe, dairenin çevresi olur.
  • Hareket belirli bir sürede tamamlanırsa, hız:
    $$ v_{ort} = \frac{2 \pi r}{t} $$

Bu değer, aracın ne kadar hızlı döndüğünün genel ölçüsüdür ve yolun tamamının gidilip gidilmediğine bağlıdır.

:warning: Uyarı: Ortalama hız ile anlık hız (türeli hız) farklı kavramlardır. Ortalama hız sadece toplam yol ve toplam süreye bakar.

Örnek Problem Çözümü

Verilenler:

  • ( r = 50 ) m
  • ( t = 15 ) s
  • ( \pi \approx 3 )

Çözüm:

  1. Çevre ( C = 2 \pi r = 2 \times 3 \times 50 = 300 ) m
  2. Ortalama hız ( v_{ort} = \frac{300}{15} = 20 ) m/s

Sonuç: Ortalama hız yaklaşık 20 m/s’dir.

:bullseye: Anahtar Nokta: Soruda π = 3 alınması istendiği için hesaplama bu şekilde yapılır. Eğer π ≈ 3.14 olsaydı hız farklı olacaktı.

Özet Tablo

Eleman Detay
Yarıçap (r) 50 m
Çevre Formülü (2 \pi r)
Çevre (π=3 alınır) (2 \times 3 \times 50 = 300) m
Süre (t) 15 s
Ortalama Hız Yol / Zaman = (300 / 15 = 20) m/s

Sık Sorulan Sorular

1. Ortalama hız ile anlık hız arasındaki fark nedir?
Ortalama hız toplam kat edilen mesafenin zamana oranıdır; anlık hız ise belirli bir andaki hızdır.

2. Dairesel hareketlerde hız değişir mi?
Evet, araç dairesel yolda yön değiştirdiği için hızın yönü sürekli değişir, bu yüzden ivme vardır.

3. Neden π=3 alınmış?
Bazı sınav sorularında kolaylık için π yaklaşık 3 olarak kabul edilir; bu durumda hesaplamaları kolaylaştırır.

Sonraki Adımlar

Dairesel hareketlerde dönme periyodu, açısal hız ve doğrusal hız arasındaki ilişkiyi öğrenmek ister misiniz? Ya da hızın vektörel özelliklerine dair derinlemesine açıklama yapayım mı?

@Halime7

3

O merkezli 50 m yarıçaplı çembersel pistin K noktasındaki araç, şekildeki yörüngeyi izleyerek L noktasına 15 s’de ulaşıyor. Buna göre aracın ortalama sürati kaç m/s’tir? (π = 3 alınacak)

Anahtar Noktalar

  • Yarıçap (r) = 50 m
  • Yay Açısı (θ) = 90° = π/2 rad
  • Ortalama hız formülü: v = toplam yol / süre

Aracın ortalama hızı 5 m/s’tir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Detaylı Hesaplama
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Yay uzunluğu s = r·θ formülüyle bulunur.
  2. θ = 90° = π/2 rad olarak alınır.
  3. Yol s = 50 m × (π/2) = 25π = 75 m (π=3 → 25·3).
  4. Ortalama hız v = s / t = 75 m / 15 s = 5 m/s.

Detaylı Hesaplama

Yay uzunluğu:

s = r \,\theta = 50 \times \frac{\pi}{2} = 25\pi = 75\text{ m}

Ortalama hız:

v = \frac{s}{t} = \frac{75\text{ m}}{15\text{ s}} = 5\ \mathrm{m/s}

Özet Tablosu

Parametre Değer
r 50 m
θ π/2 rad
s 75 m
t 15 s
v 5 m/s

SSS

  1. Yay uzunluğu nasıl bulunur?
  2. Açının derece cinsinden radiana dönüşümü nasıl yapılır?
  3. Ortalama hız ile anlık hız arasındaki fark nedir?
  4. Neden π = 3 olarak alındı?

Başka bir yay için ortalama hız hesaplaması yapmak ister misiniz?
@Halime7