O düzgün yük yoğunluklu, yalıtkan sonsuz eksi yüklu bir düzlemin elektrik alanını bulunuz

Üniversite
1

Soru:
4. o düzgün yük yoğunluklu, yalıtkan sonsuz eksi yüklu bir düzlemin elektrik alanını bulunuz.

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

σ düzgün yük yoğunluklu, yalıtkan sonsuz eksi yüklü bir düzlemin elektrik alanını bulunuz

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Sonsuz yüklü düzlemin elektrik alanı için Gauss Yasası kullanılır:

E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}

Burada,

  • \sigma : yüzey yük yoğunluğu (C/m²)
  • \varepsilon_0 : boşluğun dielektrik sabiti, yaklaşık 8.85 \times 10^{-12} \, F/m
  • E : elektrik alan büyüklüğü (N/C veya V/m)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Gauss yüzeyi seçimi
Yüklü sonsuz düzleme simetrik bir şekilde yaklaşmak için yüzey olarak üzerine simetrik seçilmiş bir silindir (Gauss silindiri) alınır. Silindirin üsleri düzleme diktir.

Adım 2 — Gauss Yasası uygulaması
Gauss Yasasına göre:

\Phi = E \cdot A = \frac{Q_{iç}}{\varepsilon_0}

Burada, iç yük:

Q_{iç} = \sigma \cdot A

A alanı, Gauss silindiri taban alanıdır.

Adım 3 — Elektrik alan büyüklüğünün bulunması
Elektrik akısı yalnızca silindirin iki tabanından geçtiği için:

2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}

Adım 4 — İşaret ve yön belirleme
Yüzeyin yükü negatif olduğundan, elektrik alan vektörü yüklü düzlemin dışına, yani düzlemden uzaklaşan yönün tersine, yani içe doğru yönelir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
Elektrik alan büyüklüğü

E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}

olarak bulunur ve yönü yüklü düzlemin negatif yük olması sebebiyle düzleme doğru (içe) yönelir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

4. σ düzgün yük yoğunluklu, yalıtkan sonsuz eksi yüklü bir düzlemin elektrik alanını bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Gauss Yasası: $$\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

Akı tanımı: $$\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}$$

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Simetri ve Gauss yüzeyi seçimi

Tanım: Sonsuz düzlem için elektrik alan düzleme dik ve her noktada aynı büyüklüktedir.

Bu problemde: Silindirik (pillbox) Gauss yüzeyi seçilir; silindirin iki düz yüzeyi alanı A’dır.

Adım 2 — Akıyı yaz

Birinci terim:

\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \text{ (üst yüz)}

= E · A

İkinci terim:

\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \text{ (alt yüz)}

= E · A

Toplam akı:

\Phi = E A + E A

= 2 E A

Adım 3 — Kapalı yüzeyin içine giren yük

Tanım: Yüzey yük yoğunluğu \sigma ise, yüzey alanı A içindeki toplam yük:

Q_{\text{enc}} = \sigma A

(Burada \sigma negatif verilmiştir, işaret \sigma ile korunur.)

Adım 4 — Gauss Yasası uygulama ve çözüm

Gauss Yasası:

\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

Yerine yaz:

2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}

A terimleri sadeleştirilir:

2 E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

E çözümlenir:

E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

Adım 5 — Yön

\sigma negatif olduğundan elektrik alan vektörü düzlemden dışarıya doğru değil, düzleme doğru yöneliktir. Yani büyüklük olarak:

|\mathbf{E}| = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}

ve vektör şeklinde (düzlemden dışarı doğru alınan birim normali \hat{n} ile):

\mathbf{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{n}

(negatif \sigma nedeniyle \mathbf{E} her iki tarafta düzleme doğru yönelir.)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
Elektrik alanın büyüklüğü \displaystyle |\mathbf{E}|=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} ve \sigma negatif olduğundan alan her iki tarafta düzleme doğru yöneliktir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Gauss Yasası
  • Tanım: Kapalı yüzeyden geçen net elektrik akısı, yüzeyin içine giren toplam yükün \varepsilon_0’a bölümüne eşittir.
  • Bu problemde: Sonsuz düzlem simetrisi sayesinde akı sadece iki düz yüz üzerinden hesaplanır.
  1. Yüzey yük yoğunluğu \sigma
  • Tanım: Birim alandaki yük miktarıdır.
  • Bu problemde: Toplam kapalı yüz içindeki yük Q_{\text{enc}}=\sigma A olur.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yarım değer almak

  • Yanlış: Sonsuz düzlem için E=\sigma/\varepsilon_0 alınması.
  • Doğru: İzafi akı iki yüz üzerinden geçtiği için E=\sigma/(2\varepsilon_0) olmalıdır.
  • Neden yanlış: Bir yüzün akısını unutmak veya yanlış saymak.
  • Düzeltme: Pillbox yüzeyinin iki kapalı yüzünü hesaba katın.

:cross_mark: İşaret karışıklığı

  • Yanlış: Negatif \sigma’yı göz ardı ederek yönü ters vermek.
  • Doğru: \sigma<0 ise alan düzleme doğru yönelir.
  • Neden yanlış: Sadece büyüklüğe bakıp işareti atlamak.
  • Düzeltme: \sigma işaretini saklayın veya yönü belirtin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: