Nunda 3 sayısinı elde ediyor

YKS TYT
1
  1. Birinci adımda 3 sayısınin küpünü alan Ayse, bu adım so-
    nunda 3 sayısinı elde ediyor. Ayşe, bundan sonraki her bir
    adımda, bir önceki adım sonunda elde ettiği sayınin küpünü
    alarak yeni bir sayı elde ediyor.
    Buna göre, Ayşe, kaçınci adımn sonunda 27 sayısinı
    elde eder?

Birinci adımda 3 sayısınin küpünü alan Ayse, bu adım so- nunda 3 sayısinı elde ediyor.
Birinci adımda 3 sayısınin küpünü alan Ayse, bu adım so- nunda 3 sayısinı elde ediyor.1024×768 91.9 KB

2

Ayşe’nin 27^{243} Sayısını Elde Ettiği Adım Sayısının Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Üssün Üssü Kuralı: (a^x)^y = a^{x \cdot y}
  • Taban Değiştirme: a^b ifadesinde tabanı asal çarpanlarına ayırarak düzenleme (Örn: 27 = 3^3).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Adımlardaki Genel Örüntünün Belirlenmesi
Ayşe her adımda bir önceki adımda bulduğu sayının 3. kuvvetini (küpünü) almaktadır:

  • 1. Adım: 3^3 = 3^{3^1}
  • 2. Adım: (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9 = 3^{3^2}
  • 3. Adım: (3^9)^3 = 3^{9 \cdot 3} = 3^{27} = 3^{3^3}

Bu örüntüye göre, n. adım sonunda elde edilen sayı:

3^{3^n}

Adım 2 — Hedef Sayının 3 Tabanında Yazılması
Ulaşılmak istenen 27^{243} sayısını 3 tabanında ifade edelim:

27 = 3^3
27^{243} = (3^3)^{243} = 3^{3 \cdot 243} = 3^{729}

Adım 3 — n. Adım ile Hedef Sayının Eşitlenmesi
n. adımda elde edilen ifadeyi hedef sayıya eşitleyelim:

3^{3^n} = 3^{729}

Tabanlar eşit olduğundan üsler de birbirine eşit olmalıdır:

3^n = 729

729 sayısını 3’ün kuvveti olarak yazarsak:

729 = 3^6
3^n = 3^6 \implies n = 6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 6. adım sonunda
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Üssün Üssü Çarpımı

  • Tanım: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında içteki üs ile dıştaki üs çarpılır: (a^m)^n = a^{m \cdot n}.
  • Bu problemde: Her adımda küp alındığı için üs her defasında 3 ile çarpılmış ve 3^n şeklinde kuvvet büyümüştür.

2. Taban Eşitleme

  • Tanım: Tabanları farklı olan üslü denklemlerde, tabanlar ortak bir asal tabana dönüştürülerek üsler karşılaştırılır.
  • Bu problemde: 27 sayısı 3^3 şeklinde yazılarak tabanlar 3’te eşitlenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üsleri Toplamak veya Kuvveti Yanlış Almak

  • Yanlış: (3^3)^3 ifadesini 3^{3+3} = 3^6 olarak hesaplamak.
  • Doğru: (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9 olmalıdır.
  • Neden yanlış: Üssün üssü alınırken üsler toplanmaz, çarpılır.

:cross_mark: 27^{243} İfadesinde Üs Çarpımını Atlamak

  • Yanlış: 27^{243} = 3^{243} kabul edip 3^n = 243 \implies n = 5 bulmak.
  • Doğru: 27 = 3^3 olduğundan 3 \cdot 243 = 729 işlemi yapılmalı ve 3^n = 729 \implies n = 6 bulunmalıdır.
  • Neden yanlış: 27 tabanındaki 3 çarpanı göz ardı edildiğinde eksik adım hesaplanır.

Bu soru tipinde benzer bir üslü sayı örüntüsü problemi daha çözmemi ister misin?