Noktasından çizilen teğet üzerinde, değ- B noktası alınıyor

[Rio]

70. D
    f (<) =x-2x + 4 parabolü üzerindeki
    noktasından çizilen teğet üzerinde, değ-
    me noktasından itibaren |AB| = 5 birim olacak şekilde
    B noktası alınıyor.
    B ve A noktalarının apsisleri farkı aşağıdakilerden
    hangisi olabilir?
    A) -6 B) -5
    C)-4 D) -3 E)-2

Soru Fotoğrafı:

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

f(x) = x² - 2x + 4 parabolü üzerindeki A(5/3, 31/9) noktasından çizilen teğet üzerinde, |AB| = 5 birim olacak şekilde B noktası alınıyor. B ve A noktalarının apsisleri farkı nedir?

Kullanılan Formül:

• Teğetin eğimi: f'(x) = 2x - 2
• Teğet doğrusu denklemi: y - y_1 = m(x - x_1)
• İki nokta arası uzaklık: |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

---

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Teğetin eğimini bulun

Parabolün türevini alın:

f'(x) = 2x - 2

A noktasındaki eğim:

m = f'(5/3) = 2 \times \frac{5}{3} - 2 = \frac{10}{3} - 2 = \frac{10}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4}{3}

---

Adım 2 — A noktasından geçen teğetin denklemini yazın

A noktasının koordinatları:

x_A = \frac{5}{3}, \quad y_A = \frac{31}{9}

Teğetin denklemi:

y - \frac{31}{9} = \frac{4}{3} \left( x - \frac{5}{3} \right)

Bunu düzenleyelim:

y = \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \times \frac{5}{3} + \frac{31}{9} = \frac{4}{3} x - \frac{20}{9} + \frac{31}{9} = \frac{4}{3} x + \frac{11}{9}

---

Adım 3 — B noktasının koordinatlarını ifade edin

B noktası teğet üzerinde ve dolayısıyla aşağıdaki gibi yazılabilir:

x = x, \quad y = \frac{4}{3} x + \frac{11}{9}

---

Adım 4 — İki nokta arası uzaklık 5 birim olacak şekilde B noktasını bulun

Mesafe formülü:

|AB| = 5 = \sqrt{(x - \frac{5}{3})^2 + \left(\frac{4}{3} x + \frac{11}{9} - \frac{31}{9} \right)^2}

İçeriyi sadeleştirelim:

\frac{4}{3} x + \frac{11}{9} - \frac{31}{9} = \frac{4}{3} x - \frac{20}{9}

Karelerini alalım:

25 = (x - \frac{5}{3})^2 + \left(\frac{4}{3} x - \frac{20}{9}\right)^2

---

Adım 5 — Denklemi çözelim

25 = \left(x - \frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3} x - \frac{20}{9}\right)^2

Açalım:

\left(x - \frac{5}{3}\right)^2 = x^2 - 2 \times x \times \frac{5}{3} + \left(\frac{5}{3}\right)^2 = x^2 - \frac{10}{3} x + \frac{25}{9}

\left(\frac{4}{3} x - \frac{20}{9}\right)^2 = \left(\frac{4}{3} x\right)^2 - 2 \times \frac{4}{3} x \times \frac{20}{9} + \left(\frac{20}{9}\right)^2 = \frac{16}{9} x^2 - \frac{160}{27} x + \frac{400}{81}

Toplayalım:

25 = \left(x^2 - \frac{10}{3} x + \frac{25}{9}\right) + \left(\frac{16}{9} x^2 - \frac{160}{27} x + \frac{400}{81}\right)

25 = x^2 + \frac{16}{9} x^2 - \frac{10}{3} x - \frac{160}{27} x + \frac{25}{9} + \frac{400}{81}

Ortak paydayı 81 alalım:

• x^2 = \frac{81}{81} x^2

• \frac{16}{9} x^2 = \frac{16 \times 9}{81} x^2 = \frac{144}{81} x^2

• -\frac{10}{3} x = -\frac{270}{81} x

• -\frac{160}{27} x = -\frac{480}{81} x

• \frac{25}{9} = \frac{225}{81}

• \frac{400}{81} = \frac{400}{81}

Toplayalım:

25 = \left(\frac{81}{81} + \frac{144}{81}\right) x^2 + \left(-\frac{270}{81} - \frac{480}{81}\right) x + \left(\frac{225}{81} + \frac{400}{81}\right)

25 = \frac{225}{81} x^2 - \frac{750}{81} x + \frac{625}{81}

Her iki tarafı 81 ile çarpalım:

25 \times 81 = 225 x^2 - 750 x + 625

2025 = 225 x^2 - 750 x + 625

Tüm terimleri sola alalım:

0 = 225 x^2 - 750 x + 625 - 2025

0 = 225 x^2 - 750 x - 1400

---

Adım 6 — Denklemi sadeleştirin

Her terimi 25’e bölün:

0 = 9 x^2 - 30 x - 56

---

Adım 7 — Kökleri bulun

x = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \times 9 \times (-56)}}{2 \times 9} = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 2016}}{18} = \frac{30 \pm \sqrt{2916}}{18}

\sqrt{2916} = 54

Yani:

x_1 = \frac{30 + 54}{18} = \frac{84}{18} = \frac{14}{3}

x_2 = \frac{30 - 54}{18} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}

---

Adım 8 — Apsiler farkını bulun

A noktasının apsisi x_A = \frac{5}{3}

B noktasının apsileri:

• x_{B1} = \frac{14}{3}
  Fark:

\frac{14}{3} - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3

• x_{B2} = -\frac{4}{3}
  Fark:

-\frac{4}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{9}{3} = -3

---

Adım 9 — Şıklardan doğru olanı seçin

Şıklarda apsis farkları negatif olarak verilmiş. Bulduğumuz negatif fark: -3

---

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) -3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Pro İpucu: Teğet doğrusu üzerindeki noktaların koordinatlarını kullanırken, mesafe formülünü doğru kurmak kritik önemdedir. Ayrıca kökleri kontrol etmek doğru seçimi sağlar.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sinav_Rehberi (YKS ve LGS Sınav Rehberi)]

f(x)=x^2−2x+4 parabolü üzerindeki A\left(\tfrac{5}{3},\tfrac{31}{9}\right) noktasından çizilen teğet üzerinde, değme noktasından itibaren |AB|=5 olacak şekilde B noktası alınıyor. B ve A noktalarının apsisleri farkı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

1. türev: Eğimi bulmak için f'(x) kullanılır.
2. uzaklık/formül: İki nokta arasındaki uzaklık |AB|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
3. birim vektör: Doğrultu vektörünü birim vektöre çevirip istenen uzunlukla çarparız.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eğimin bulunması

Türevi yazalım:

f'(x)=2x-2

x koordinatına \tfrac{5}{3} koyup eğimi bulalım:

f'\!\left(\tfrac{5}{3}\right)=2\cdot\tfrac{5}{3}-2

= \tfrac{10}{3}-2

= \tfrac{10}{3}-\tfrac{6}{3}

= \tfrac{4}{3}

Adım 2 — Teğetin yön vektörü ve birim vektör

Teğetin doğrultu vektörü (1,m) olur; burada m=\tfrac{4}{3}.

Doğrultu vektörü:

(1,\tfrac{4}{3})

Bu vektörün uzunluğunu hesaplayalım:

\text{uzunluk}=\sqrt{1^2+\left(\tfrac{4}{3}\right)^2}

= \sqrt{1+\tfrac{16}{9}}

= \sqrt{\tfrac{25}{9}}

= \tfrac{5}{3}

Birim vektör:

\bigg(\tfrac{1}{\tfrac{5}{3}},\tfrac{4/3}{\tfrac{5}{3}}\bigg)

= \bigg(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigg)

Adım 3 — |AB|=5 olacak şekilde Δx, Δy bulunması

5 birimlik yer değiştirme birim vektörün 5 katıdır:

5\cdot\bigg(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigg)

= (3,4)

Bu, A’dan B’ye olan yer değiştirmenin olası yönlerinden biridir; yönün tersine alınması da mümkündür, yani (-3,-4) da mümkündür.

Buna göre apsis farkı (x_B − x_A):

x_B-x_A= \pm 3

Seçenekler içinde negatif değerler verilmiş; negatif olanı eşleşen değer:

x_B-x_A=-3

TEMEL KAVRAMLAR:

1. türev

• Tanım: Fonksiyonun eğimini verir.
• Bu problemde: Teğetin eğimini f'(x) ile bulduk.

2. birim vektör

• Tanım: Bir vektörü aynı doğrultuda birim uzunluğa indiren vektör.
• Bu problemde: Teğetin doğrultusunu birim vektöre çevirip 5 ile çarparak Δx ve Δy elde ettik.

SIK YAPILAN HATALAR:

Birim vektör kullanmamak

• Yanlış: Eğimi doğrudan Δy olarak alıp Δx=1 zannetmek.
• Doğru: Eğimi \Delta y/\Delta x olarak kullanıp doğrultu vektörünün uzunluğunu hesaplayıp birim vektöre çevirmek gerekir.
• Neden yanlış: Eğimin kendisi uzunluk bilgisi vermez; aynı eğime sahip vektörler farklı uzunlukta olabilir.
• Düzeltme: Doğrultu vektörünü normalize ederek istenen uzaklığa ölçekleyin.

CEVAP: D) −3

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!