D
ni çizil-
Yariçap uzunluğu 2 cm olan O merkezli çember
ABC üçgenine E noktasından teğettir.
Çevre(ABC) = 20 cm olduğuna göre, çember
ABC üçgeni üzerinde bir tur dönüp tekrar aynı
noktaya geldiğinde çember merkezinin aldığı
yol kaç cm’dir?
A) 20
B) 20 +
D) 20 +3n
C) 20 +2r
E) 20 + 4m
dere-
115
Üçgen Etrafında Dönen Çember Merkezinin Aldığı Yol
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir çokgenin etrafında dıştan yuvarlanan r yarıçaplı bir çemberin merkezinin aldığı toplam yol:
\text{Toplam Yol} = \text{Çokgenin Çevresi} + 2\pi r
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenarlar Boyunca Alınan Doğrusal Yolun Hesaplanması
Çember, üçgenin kenarları üzerinde kaymadan yuvarlanırken çemberin merkezi kenarlara daima r = 2\text{ cm} uzaklıkta ve kenarlara paralel bir yol izler. Dolayısıyla her kenar boyunca merkez, kenar uzunluğu kadar doğrusal yol alır:
\text{Doğrusal Yol} = |AB| + |BC| + |CA| = \text{Çevre}(ABC) = 20\text{ cm}
Adım 2 — Köşelerde Dönüş Sırasında Alınan Dairesel Yayların Hesaplanması
Çember üçgenin köşelerine (A, B, C) ulaştığında, köşe noktası etrafında dış açı kadar dönerek bir sonraki kenara geçer.
Üçgenin dış açılarının toplamı her zaman 360^\circ olduğundan, köşelerdeki yayların toplamı yarıçapı r = 2\text{ cm} olan tam bir çemberin çevresine eşittir:
\text{Yayların Toplamı} = 2\pi r = 2\pi \cdot 2 = 4\pi\text{ cm}
Adım 3 — Merkezin Aldığı Toplam Yolun Bulunması
Merkezin katettiği toplam mesafe, kenarlar boyunca alınan doğrusal yollar ile köşelerdeki dönme yaylarının toplamıdır:
\text{Toplam Yol} = 20 + 4\pi\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E — 20 + 4\pi
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Dış Açılar Toplamı: Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı daima 360^\circ (2\pi radyan) olduğundan, çokgen kaç kenarlı olursa olsun köşelerdeki yayların toplamı daima 2\pi r olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Köşelerdeki dönüş yaylarını hesaba katmayıp cevabın yalnızca üçgenin çevresi olan 20\text{ cm} olduğunu düşünmek.- Doğru Yaklaşım: Çember köşe noktayı geçerken merkezi r yarıçaplı dairesel bir yay çizer. Üçgenin tüm köşelerindeki dönüşlerin toplamı tam bir çember (2\pi r) oluşturur.
Bu kuralın dörtgen veya düzgün altıgen gibi farklı çokgenlerde nasıl uygulandığını pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misin?