Newton’ın Evrensel Kütle Çekim Formülü ile Gezegenlerin Kütle ve İvme Hesabı
KULLANILAN FORMÜL:
g = G \cdot \frac{M}{R^2} \implies M = \frac{g \cdot R^2}{G}
- g: Yer çekimi ivmesi (\text{m/sn}^2)
- G: Evrensel çekim sabiti = 6{,}673 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3/(\text{kg}\cdot\text{sn}^2)
- M: Gezegenin kütlesi (\text{kg})
- R: Gezegenin yarıçapı (\text{m})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
A Bölümü — Mars’ın Kütlesi ve Kütle Oranı
Adım 1 — Mars’ın Yarıçapının Karesini Hesaplama
Mars’ın yarıçapı R_M = 3{,}389 \cdot 10^6\text{ m} olarak verilmiştir.
R_M^2 = (3{,}389 \cdot 10^6)^2 = (3{,}389)^2 \cdot 10^{12} = 11{,}485321 \cdot 10^{12}\text{ m}^2
Adım 2 — Mars’ın Kütlesini (M_M) Bulma
Formülde verilen değerleri yerine yazalım:
M_M = \frac{g_M \cdot R_M^2}{G}
M_M = \frac{3{,}711 \cdot 11{,}485321 \cdot 10^{12}}{6{,}673 \cdot 10^{-11}} = \frac{42{,}622026 \cdot 10^{12}}{6{,}673 \cdot 10^{-11}}
M_M \approx 6{,}3872 \cdot 10^{23}\text{ kg}
Onda birler basamağına yuvarlanmış bilimsel gösterimi:
M_M \approx 6{,}4 \cdot 10^{23}\text{ kg}
Adım 3 — Dünya’nın Kütlesinin Mars’ın Kütlesine Oranı
Dünya’nın kütlesi M_D = 5{,}97 \cdot 10^{24}\text{ kg} olarak verilmiştir.
\text{Oran} = \frac{M_D}{M_M} = \frac{5{,}97 \cdot 10^{24}}{6{,}3872 \cdot 10^{23}} = \frac{59{,}7}{6{,}3872} \approx 9{,}3468
Onda birler basamağına yuvarlandığında:
\text{Oran} \approx 9{,}3\text{ kat}
B Bölümü — Dünya’nın Yer Çekimi İvmesi ve Karşılaştırma
Adım 4 — Dünya’nın Yarıçapının Karesini Hesaplama
Dünya’nın yarıçapı R_D = 6{,}371 \cdot 10^6\text{ m} olarak verilmiştir.
R_D^2 = (6{,}371 \cdot 10^6)^2 = (6{,}371)^2 \cdot 10^{12} = 40{,}589641 \cdot 10^{12}\text{ m}^2
Adım 5 — Dünya’nın Yer Çekimi İvmesini (g_D) Hesaplama
g_D = G \cdot \frac{M_D}{R_D^2}
g_D = \frac{6{,}673 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{40{,}589641 \cdot 10^{12}} = \frac{39{,}83781 \cdot 10^{13}}{40{,}589641 \cdot 10^{12}} = \frac{398{,}3781}{40{,}589641}
g_D \approx 9{,}8148\text{ m/sn}^2
Onda birler basamağına yuvarlandığında:
g_D \approx 9{,}8\text{ m/sn}^2
Adım 6 — İvmelerin Karşılaştırılması
- Dünya’nın yer çekimi ivmesi: g_D \approx 9{,}8\text{ m/sn}^2
- Mars’ın yer çekimi ivmesi: g_M \approx 3{,}7\text{ m/sn}^2
- Fark: 9{,}8 - 3{,}7 = 6{,}1\text{ m/sn}^2 (Dünya’nın ivmesi yaklaşık 6{,}1\text{ m/sn}^2 daha fazladır).
- Oran: \frac{9{,}8}{3{,}711} \approx 2{,}6 kat (Dünya’daki çekim ivmesi, Mars’takinin yaklaşık 2{,}6 katıdır).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- A Şıkkı: Mars’ın kütlesi 6{,}4 \cdot 10^{23}\text{ kg}; Dünya’nın kütlesi Mars’ın kütlesinin yaklaşık 9{,}3 katıdır.
- B Şıkkı: Dünya’nın yer çekimi ivmesi yaklaşık 9{,}8\text{ m/sn}^2 olup, Mars’ın yer çekimi ivmesinden 6{,}1\text{ m/sn}^2 daha büyüktür (yaklaşık 2{,}6 katıdır).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bilimsel Gösterim
- Tanım: 1 \le |a| < 10 ve n \in \mathbb{Z} olmak üzere bir sayının a \cdot 10^n biçiminde yazılmasıdır.
- Bu problemde: Mars’ın kütlesi 6{,}3872 \cdot 10^{23}\text{ kg} şeklinde bulunmuş ve onda birler basamağına göre 6{,}4 \cdot 10^{23}\text{ kg} olarak ifade edilmiştir.
2. Yer Çekimi İvmesi (g)
- Tanım: Bir gök cisminin yüzeyindeki birim kütleye uyguladığı kütle çekim kuvvetidir. Kütle ile doğru, yarıçapın karesi ile ters orantılıdır.
- Bu problemde: Dünya’nın kütlesi ve yarıçapı formülde yerine konularak yüzey çekim ivmesi 9{,}8\text{ m/sn}^2 olarak doğrulanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yarıçapın Karesini Almayı Unutmak
- Yanlış: g = G \cdot \frac{M}{R} formülünü kullanmak.
- Doğru: Paydadaki yarıçapın mutlaka karesi (R^2) alınmalıdır.
- Neden yanlış: Kütle çekim kanunu ters kare yasasına (1/R^2) dayanır.
Üslü Sayılarda Kuvvet Alma Hatası
- Yanlış: (10^6)^2 = 10^8 veya 10^6 olarak bırakmak.
- Doğru: (10^6)^2 = 10^{6 \cdot 2} = 10^{12} olmalıdır.
- Neden yanlış: Üssün üssü alınırken üsler çarpılır.
Benzer bir gök cismi (örneğin Ay veya Jüpiter) için yer çekimi ivmesi ve kütle hesaplama alıştırması yapmak ister misin?
