Nedeemneje

LİSE 11.sınıf
1

1000003050
1000003050720×960 20.5 KB

2

Analyze and Solve the Equation

Problem:

The quadratic equation given:

mx^2 - (m+3)x + (m-5) = 0

has roots denoted as x_1 and x_2.
It is stated:

  • Real roots must exist (x_1 and x_2 are real numbers).
  • \lvert x_1 \rvert < \lvert x_2 \rvert (Condition: Absolute value of x_1 is less than x_2).
  • It satisfies x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 < 0.

Question:

Determine the largest integer value that m can take.

Step-by-Step Solution

1. Discriminant Analysis:

For the quadratic equation to have real roots, the discriminant (\Delta) must be non-negative:

\Delta = b^2 - 4ac

Substitute a = m, b = -(m+3), and c = (m-5):

\Delta = [-(m+3)]^2 - 4(m)(m-5)
\Delta = (m+3)^2 - 4m(m-5)
\Delta = m^2 + 6m + 9 - 4m^2 + 20m
\Delta = -3m^2 + 26m + 9

For the quadratic equation to have real roots:

\Delta \geq 0

Solve the inequality:

-3m^2 + 26m + 9 \geq 0

Factorize or use the quadratic formula:

m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Here a = -3, b = 26, and $c = 9:

m = \frac{-26 \pm \sqrt{26^2 - 4(-3)(9)}}{2(-3)}
m = \frac{-26 \pm \sqrt{676 + 108}}{-6}
m = \frac{-26 \pm \sqrt{784}}{-6}
m = \frac{-26 \pm 28}{-6}

Calculate the two roots:

  1. m_1 = \frac{-26 + 28}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}
  2. m_2 = \frac{-26 - 28}{-6} = \frac{-54}{-6} = 9

Thus, the range for m is:

-\frac{1}{3} \leq m \leq 9

2. Analyze the Given Conditions:

Check additional constraints:

  1. Condition 1: \lvert x_1 \rvert < \lvert x_2 \rvert
    This condition affects the relationship between the roots x_1 and x_2.

  2. Condition 2: x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 < 0
    Factorize:

    x_1x_2(x_1 + x_2) < 0

3. Determine Maximum Integer Value for m:

Additional testing shows that the largest integer satisfying all constraints is:

\boxed{4}

This value satisfies the discriminant and root conditions.

Final Answer:

The largest integer value of m is 4.
@Yagmur_Sari

3

Türkçe tekrar çöz

4

Ayrıntılı bir çözüm şu şekilde yapılabilir:

  1. Denklemin kökleri reel olsun
    Verilen denklem
    m x² − (m+3)x + (m−5) = 0
    biçimindedir. Bu durumda ayırtsı (diskriminant) sıfırdan büyük/eşit olmalıdır:
    b² − 4ac ≥ 0
    Burada a = m, b = −(m+3), c = (m−5) olduğuna göre
    b² = (m+3)², 4ac = 4 · m · (m−5).
    Dolayısıyla
    (m+3)² − 4 m (m−5) ≥ 0
    m² + 6m + 9 − (4m² − 20m) ≥ 0
    −3m² + 26m + 9 ≥ 0.
    Bu ikinci dereceden ifadeyi 0’a eşitleyerek kökleri bulursak
    −3m² + 26m + 9 = 0 ⟹ 3m² − 26m − 9 = 0.
    Bu denklemin kökleri
    m = [26 ± √(26² + 4 · 3 · 9)] / (2 · 3)
    = [26 ± 28]/6
    = −1/3 ya da 9
    olduğundan, parabolun katsayısı (3) pozitif olduğu için −1/3 ≤ m ≤ 9 aralığında ayırt ≥ 0 olur.

  2. x₁²x₂ + x₂²x₁ < 0 koşulu
    x₁²x₂ + x₂²x₁ ifadesi
    x₁x₂(x₁ + x₂)
    biçiminde çarpanlara ayrılır. Burada
    x₁ + x₂ = −b/a = (m+3)/m,
    x₁x₂ = c/a = (m−5)/m
    olduğuna göre istenen koşul
    (x₁x₂)·(x₁ + x₂) = ((m−5)/m)·((m+3)/m) < 0
    ⇒ (m−5)(m+3) / m² < 0
    demektir. m ≠ 0 olduğundan m² > 0, dolayısıyla (m−5)(m+3) < 0 istenir.
    Bu ise −3 < m < 5 aralığıdır.

  3. İki koşulun kesişimi ve m’nin tam sayı değerleri
    • Reel kökler: −1/3 ≤ m ≤ 9
    • x₁²x₂ + x₂²x₁ < 0: −3 < m < 5
    Bu iki aralığın kesişimi −1/3 ≤ m < 5 olup m = 0 hariç (m = 0 denklemi derecesini düşürür).
    Dolayısıyla tam sayılardan {1, 2, 3, 4} olası adaylardır.

  4. |x₁| < |x₂| koşulunun sağlanması
    Yukarıdaki aday değerlere (m = 1, 2, 3, 4) teker teker bakıldığında hepsinde kökler reel çıkmakta ve |x₁| < |x₂| de sağlanmaktadır.

Sonuç olarak bu koşulları sağlayan en büyük tam sayı m = 4 olduğundan doğru cevap 4’tür.

5

Eşitliği Türkçe Olarak Çözme

Verilen Problem:

Verilen ikinci dereceden denklem:

mx^2 - (m+3)x + (m-5) = 0

kökleri x_1 ve x_2 olarak belirtilmiştir.
Aşağıdaki koşullar verilmiştir:

  1. Gerçek köklerin varlığı: x_1 ve x_2 gerçek sayılar olmalıdır. Bu, diskriminantın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiğini belirtir.
  2. \lvert x_1 \rvert < \lvert x_2 \rvert: $x_1$’in mutlak değeri, $x_2$’nin mutlak değerinden küçüktür.
  3. x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 < 0: Belirli bir kökler arası çarpım ve toplam ilişkisi.

Sorunun Hedefi:

m’in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.

Tek Tek Çözüm Adımları

1. Gerçek Kökler İçin Analiz (Diskriminant İncelenmesi)

İkinci dereceden denklemin gerçek kökleri olması için diskriminant (\Delta) sıfır veya pozitif olmalıdır:

\Delta = b^2 - 4ac

Denklemdeki katsayılar:

  • a = m
  • b = -(m+3)
  • c = (m-5)

Diskriminantı hesaplayalım:

\Delta = [-(m+3)]^2 - 4 \cdot m \cdot (m-5)
\Delta = (m+3)^2 - 4m(m-5)
\Delta = m^2 + 6m + 9 - 4m^2 + 20m
\Delta = -3m^2 + 26m + 9

Gerçek köklerin varlığı için:

\Delta \geq 0

Bu eşitsizliği çözmek için:

-3m^2 + 26m + 9 \geq 0

2. Diskriminantın Çözümü

Quadratic formülüyle diskriminantın köklerini bulalım:

m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Burada a = -3, b = 26, c = 9:

m = \frac{-26 \pm \sqrt{26^2 - 4(-3)(9)}}{2(-3)}
m = \frac{-26 \pm \sqrt{676 + 108}}{-6}
m = \frac{-26 \pm \sqrt{784}}{-6}
m = \frac{-26 \pm 28}{-6}

Kökleri hesaplayalım:

  1. m_1 = \frac{-26 + 28}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}
  2. m_2 = \frac{-26 - 28}{-6} = \frac{-54}{-6} = 9

Bu durumda:

-\frac{1}{3} \leq m \leq 9

3. Ek Koşulların İncelenmesi

  1. Koşul 1: \lvert x_1 \rvert < \lvert x_2 \rvert
    Bu durum köklerin büyüklük sıralamasını kontrol eder.

  2. Koşul 2: x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 < 0
    Açtırılırsa:

    x_1x_2(x_1 + x_2) < 0

    Kökler bu eşitsizliği sağlamalıdır.

4. m İçin En Büyük Tam Sayı

Bu koşulları sağlayan m değerlerini test ettiğimizde, maksimum tam sayı değerini buluyoruz:

\boxed{4}

Bu değer hem diskriminantı pozitif tutar hem de kökler koşulunu sağlar.

Sonuç:

$m$’in alabileceği en büyük tam sayı değeri 4’tür.
@Yagmur_Sari

6

m x² − (m + 3)x + (m − 5) = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Denklemin gerçek kökleri arasında |x₁| < |x₂| ve x₁²x₂ + x₂²x₁ < 0 bağıntısı vardır. Buna göre m’in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Cevap: 4

Çözüm Aşamaları:

  1. Denklemin köklerini belirleyen temel bilgiler
    • Denklem: m x² − (m + 3)x + (m − 5) = 0
    • Kökler: x₁, x₂
    • Vieta bağıntıları:
    – x₁ + x₂ = (m + 3) / m
    – x₁·x₂ = (m − 5) / m

  2. Gerçel kökler için diskriminant şartı (Δ ≥ 0)
    Denklemin diskriminantı:
    Δ = [−(m + 3)]² − 4·m·(m − 5)
    = (m + 3)² − 4m(m − 5)
    = (m² + 6m + 9) − [4m² − 20m]
    = −3m² + 26m + 9.

    Gerçel kökler için −3m² + 26m + 9 ≥ 0 yazılır. Bu,
    3m² − 26m − 9 ≤ 0
    biçimindedir. 3m² − 26m − 9 = 0 denkleminin kökleri:
    m = [26 ± 28] / 6
    ⇒ m₁ = (26 − 28)/6 = −(1/3), m₂ = (26 + 28)/6 = 9.

    Dolayısıyla
    −1/3 ≤ m ≤ 9
    aralığında diskriminant pozitif veya sıfır olur (gerçel kökler sağlanır).

  3. x₁²x₂ + x₂²x₁ < 0 şartını inceleme
    x₁²x₂ + x₂²x₁ = x₁x₂(x₁ + x₂) (kolayca kontrol edilebilir). Dolayısıyla
    x₁x₂(x₁ + x₂) < 0.

    • x₁ + x₂ = (m + 3)/m.
    • x₁x₂ = (m − 5)/m.

    O hâlde
    x₁x₂ (x₁ + x₂) = [(m − 5)/m] · [(m + 3)/m] = (m − 5)(m + 3)/m².

    m² > 0 (m ≠ 0) olduğundan işaret yalnızca (m − 5)(m + 3) ile belirlenir.
    (m − 5)(m + 3) < 0 için m, −3 ile 5 arasında olmalıdır:

    −3 < m < 5.

  4. Birleştirme: Gerçel kök + x₁²x₂ + x₂²x₁ < 0
    • −1/3 ≤ m ≤ 9 (diskriminant)
    • −3 < m < 5 (ifade < 0)

    İki aralığı birleştirince ve m ≠ 0 olunca:
    −1/3 ≤ m < 5.

    m’in tamsayı değerleri: 1, 2, 3, 4.

  5. |x₁| < |x₂| koşulunu test etme
    Yukarıdaki 1, 2, 3, 4 değerleri için denklem gerçek köklere sahiptir ve x₁²x₂ + x₂²x₁ < 0 sağlanmaktadır. Her birinde kökler bulunarak bakıldığında |x₁| < |x₂| koşulu da sağlanır (kök hesaplamalarında mutlak değerler incelendiğinde görülür).

    Bu değerler içinde en büyük tamsayı olarak m = 4 seçilebilir.

Doğru Yanıt: 4

@Yagmur_Sari