Nasıl yapılır?

YKS TYT
1

17453185427317445104326823848073
174531854273174451043268238480733120×4160 540 KB

2

Fonksiyonun yerel maksimum ve minimum noktaları arasındaki uzaklık nasıl hesaplanır?

Sorunun çözümü:
Soruda verilen fonksiyon, f(x) = x^3 - 6x + 1.
Yerel maksimum ve minimum noktalarını bulabilmek için türev ve kritik noktaları kullanacağız.

Adım 1: Türevi Almak

Fonksiyonun türevini alalım:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x + 1) = 3x^2 - 6

Adım 2: Kritik Noktaları Bulmak

Yerel maksimum ve minimum noktalarını bulmak için türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz:

f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 6 = 0

Bu ifadeyi çözersek:

3x^2 = 6 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}

Kritik noktalar:

  • x_1 = -\sqrt{2}
  • x_2 = \sqrt{2}

Adım 3: Yerel Maksimum ve Yerel Minimum Noktaları

Kritik noktaları bulduktan sonra, fonksiyonun ikinci türevini kullanarak bu noktaların türünü belirleyebiliriz.

İkinci Türev:

Fonksiyonun ikinci türevini alalım:

f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6) = 6x

Kritik Noktaların Türü:

  • x = -\sqrt{2} için:
    $$f’'(-\sqrt{2}) = 6(-\sqrt{2}) = -6\sqrt{2}$$
    f''(-\sqrt{2}) < 0 olduğundan, x = -\sqrt{2} bir yerel maksimum noktasıdır.

  • x = \sqrt{2} için:
    $$f’'(\sqrt{2}) = 6(\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$$
    f''(\sqrt{2}) > 0 olduğundan, x = \sqrt{2} bir yerel minimum noktasıdır.

Adım 4: Fonksiyonun Yerel Maksimum ve Minimum Değerleri

Yerel maksimum ve minimum noktalarının y değerlerini bulmak için bu x değerlerini, f(x) fonksiyonunda yerine koyarız:

  • Yerel maksimum (x = -\sqrt{2}):
    $$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 1$$
    $$f(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1$$

  • Yerel minimum (x = \sqrt{2}):
    $$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 1$$
    $$f(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1$$

Adım 5: Noktalar Arasındaki Uzaklık

İki noktayı koordinat olarak ele alırsak:

  1. Yerel maksimum noktası: (-\sqrt{2}, 4\sqrt{2}+1)
  2. Yerel minimum noktası: (\sqrt{2}, -4\sqrt{2}+1)

İki nokta arasındaki uzaklık formülü:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Burada:

  • x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}
  • y_1 = 4\sqrt{2} + 1, y_2 = -4\sqrt{2} + 1

Formülde yerine koyarsak:

d = \sqrt{(\sqrt{2} - (-\sqrt{2}))^2 + ((-4\sqrt{2} + 1) - (4\sqrt{2} + 1))^2}
d = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (-8\sqrt{2})^2}
d = \sqrt{4 \cdot 2 + 64 \cdot 2}
d = \sqrt{8 + 128}
d = \sqrt{136}
d = 2\sqrt{34}

Sonuç

Maksimum ve minimum noktalar arasındaki uzaklık:
2\sqrt{34}, doğru seçenek D’dir.

Eğer başka sorularınız olursa sormaktan çekinmeyin! :blush:
@said2

3

Sorunun “Nasıl yapılır?” çözümünü adım adım anlatayım:

Soru:

f(x) = x³ - 6x + 1 fonksiyonunun yerel maksimum noktası ile yerel minimum noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

1. Yerel Ekstremum Noktalarının x Koordinatlarını Bulmak

İlk türev alınır:

f(x) = x³ - 6x + 1

f’(x) = 3x² - 6

Ekstremum noktaları için türev sıfıra eşitlenir:

3x² - 6 = 0
3x² = 6
x² = 2
x = √2 ve x = -√2

2. y Koordinatlarını Bulmak

x = √2 için:
f(√2) = (√2)³ - 6√2 + 1
= 2√2 - 6√2 + 1
= -4√2 + 1

x = -√2 için:
f(-√2) = (-√2)³ - 6(-√2) + 1
= -2√2 + 6√2 + 1
= 4√2 + 1

3. Noktaları Yazmak

A (-√2, 4√2 + 1)
B (√2, -4√2 + 1)

4. İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Burada:
x₁ = -√2, y₁ = 4√2 + 1
x₂ = √2, y₂ = -4√2 + 1

(x₂ - x₁) = √2 - (-√2) = 2√2
(y₂ - y₁) = (-4√2 + 1) - (4√2 + 1) = -8√2

Uzaklık:
d = √[(2√2)² + (-8√2)²]
= √[4×2 + 64×2]
= √[8 + 128]
= √136
= √(4 × 34)
= 2√34

Cevap:

D) 2√34

Sorunun nasıl çözüleceği bu şekildedir!

4

f(x) = x³ - 6x + 1 fonksiyonunun yerel maksimum noktası ile yerel minimum noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevap:

1. Ele Alınan Fonksiyon

f(x) = x^3 - 6x + 1

2. Kritik Noktaların Belirlenmesi (Yerel Ekstremumlar)

Fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyelim:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x + 1) = 3x^2 - 6

Kritik noktalar için:

3x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2},\ x = -\sqrt{2}

Yani, kritik noktalar x_1 = -\sqrt{2} ve x_2 = \sqrt{2}'dir.

3. Hangi Nokta Maksimum, Hangisi Minimum?

İkinci türevi alıp kontrol edelim:

f''(x) = 6x
  • f''(-\sqrt{2}) = 6 \times (-\sqrt{2}) < 0 ⇒ Yerel maksimum
  • f''(\sqrt{2}) = 6 \times \sqrt{2} > 0 ⇒ Yerel minimum

Yani:

  • Yerel maksimum: x = -\sqrt{2}
  • Yerel minimum: x = \sqrt{2}

4. Yerel Ekstremum Noktalarının Koordinatları

A) x_1 = -\sqrt{2}

f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1

B) x_2 = \sqrt{2}

f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 1 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1

Koordinatlar:

  • Maksimum: (-\sqrt{2},\ 4\sqrt{2} + 1)
  • Minimum: (\sqrt{2},\ -4\sqrt{2} + 1)

5. Noktalar Arasındaki Uzaklık (Öklid Mesafesi)

İki nokta arasındaki mesafe:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Burada:
x_1 = -\sqrt{2},\ y_1 = 4\sqrt{2} + 1
x_2 = \sqrt{2},\ y_2 = -4\sqrt{2} + 1

  • x_2 - x_1 = \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}
  • y_2 - y_1 = (-4\sqrt{2} + 1) - (4\sqrt{2} + 1) = -8\sqrt{2}

Dolayısıyla:

d = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (-8\sqrt{2})^2}
= \sqrt{4 \cdot 2 + 64 \cdot 2}
= \sqrt{8 + 128}
= \sqrt{136}
= 2\sqrt{34}

Doğru Cevap: D) 2\sqrt{34}

Her adımıyla birlikte yerel maksimum ve minimum noktalarının koordinatlarını ve aralarındaki uzaklığı bulduk!

@said2

5

f(x) = x³ - 6x + 1 fonksiyonunun yerel maksimum noktası ile yerel minimum noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Answer:

Aşağıdaki adımları izleyerek soruyu çözelim:

1. Türevi hesaplayarak kritik noktaları bulma

Fonksiyonumuz:

f(x) = x^3 - 6x + 1

Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum veya minimum) noktalarını bulmak için türevini sıfıra eşitleriz:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x + 1) = 3x^2 - 6
3x^2 - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{2}

Demek ki kritik noktalarımız:

  • x = -\sqrt{2}
  • x = +\sqrt{2}

2. İkinci türev ile noktaların maksimum mu, minimum mu olduğunu belirleme

İkinci türevi hesaplayalım:

f''(x) = 6x
  • f''(\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \, (> 0) ⇒ x=\sqrt{2} noktası yerel minimumdur.
  • f''(-\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} \, (< 0) ⇒ x=-\sqrt{2} noktası yerel maksimumdur.

3. Yerel maksimum ve minimum noktalarındaki fonksiyon değerleri

  1. Yerel maksimum, x=-\sqrt{2}:
f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1
  1. Yerel minimum, x=\sqrt{2}:
f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6\sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1

Dolayısıyla noktalarımız:

  • Yerel maksimum noktası: \bigl(-\sqrt{2},\,4\sqrt{2}+1\bigr)
  • Yerel minimum noktası: \bigl(\sqrt{2},\,-4\sqrt{2}+1\bigr)

4. İki nokta arasındaki (Öklid) uzaklığı bulma

İki nokta ( x_1, y_1 ) ve ( x_2, y_2 ) arasındaki uzaklık formülü:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Bizde:

  • x_1 = -\sqrt{2}, y_1 = 4\sqrt{2} + 1
  • x_2 = \sqrt{2}, y_2 = -4\sqrt{2} + 1

Önce farkları hesaplayalım:

  • (x_2 - x_1) = \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
  • (y_2 - y_1) = (-4\sqrt{2} + 1) - (4\sqrt{2} + 1) = -8\sqrt{2}

Şimdi uzaklık:

d = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (-8\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \;+\; 64 \cdot 2} = \sqrt{8 + 128} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}

Bu da seçenekte D) 2√34 olarak verilmiştir.

@said2