Nanddndnn Sorusu: Aralıklar ve Tam Sayılar Üzerine Eşitsizlik Problemi
Önemli Noktalar
- Verilen aralıklar kapalıdır.
- A ∪ B birleşimi alınacak, ardından tam sayılar kümesiyle kesişimi bulunacak.
- Aralıkların tam sayı elemanlarını dikkatlice belirlemek gerekir.
Verilen:
- A = \left[ -\frac{3}{2}, \sqrt{5} \right]
- B = \left[ -\sqrt{3}, \frac{16}{3} \right]
- Soru: \left( A \cup B \right) \cap \mathbb{Z} kümesinin eleman sayısı (tam sayılar)
İçindekiler
- Verilen Aralıkların İncelenmesi
- Birleşim ve Kesim İşlemi
- Eleman Sayısının Hesaplanması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Verilen Aralıkların İncelenmesi
- A = \left[-\frac{3}{2}, \sqrt{5}\right] = \left[-1.5, \approx 2.236\right]
- B = \left[-\sqrt{3}, \frac{16}{3}\right] = \left[-1.732, \approx 5.333\right]
Bu aralıkların tam sayılarını bulalım:
A kümesindeki tam sayılar:
Aralık: [-1.5, 2.236]
İçinde olan tam sayılar: -1, 0, 1, 2 → 4 tane
B kümesindeki tam sayılar:
Aralık: [-1.732, 5.333]
İçinde olan tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 → 7 tane
Pro Tip: Aralıkta olabilmek için sayı, sınırlar dahil aralıkta kalmalıdır. Örneğin -1.5 dahil ancak -2 dahil değildir.
2. Birleşim ve Kesim İşlemi
- A \cup B birleşimi içindeki tam sayılar, A ve B kümelerindeki tüm tam sayıların birleşimidir.
- A içindeki tam sayılar: -1, 0, 1, 2
- B içindeki tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
- Birleşim: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 → 7 eleman
Z kümesi tam sayılar olduğuna göre, \left(A \cup B \right) \cap Z = A \cup B kümelerinin tam sayılarının birleşimidir, yani 7 elemanlıdır.
3. Eleman Sayısının Hesaplanması
Sonuç olarak, \left( A \cup B \right) \cap \mathbb{Z} kümesinin eleman sayısı:
7
4. Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Eleman Sayısı / Detay |
|---|---|---|
| A aralığı tam sayılar | [-1.5, 2.236] | -1, 0, 1, 2 → 4 adet |
| B aralığı tam sayılar | [-1.732, 5.333] | -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 → 7 adet |
| Birleşim | A ∪ B | -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 → 7 adet |
| Kesim \cap \mathbb{Z} | Tam sayılarla kesişim | Değişmez, 7 eleman |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Kapalı aralık ile açık aralık arasındaki fark nedir?
Kapalı aralık, sınır değerleri içerir. Örneğin [a, b] içerisindeki a ve b da aralıktadır. Açık aralık (a, b) ise sınırlar dahil değildir.
2. Tam sayılar kümesi nedir?
Tam sayılar (\mathbb{Z}) negatif ve pozitif tüm sıfır dahil tam sayılardır: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
3. Neden birleşimden sonra kesişim tam sayılarla yapıldı?
Çünkü soru, yalnızca tam sayılar arasında kaç eleman olduğunu soruyor. İlk birleşimi tamamlayıp, bu kümeyi tam sayılarla kesiştirerek yalnızca tam sayıları alıyoruz.
Sonraki Adımlar
İsterseniz başka eşitsizlikler ve aralıklar hakkında benzer sorular çözebiliriz veya bu sorunun farklı varyasyonlarını ve içinden nasıl set işlemleri çıkarabileceğinizi detaylandırabilirim. İsterseniz, ikinci soruyu da ayrıntılı çözebilirim.
3. ve 4. Soruların Çözümleri
• Önemli Noktalar
- Kapalı aralıkta [a,b] uç değerler dâhil, açık aralıkta (a,b) dâhil değil.
- Tam sayı sayısı sayılırken aralığın en küçük ve en büyük tam sayıları belirlenir.
- Açık aralıkta ifadenin alabileceği tam sayı değeri, sınır değerler arasında kalan en büyük tam sayıdır.
Aşağıda doğrudan cevaplar ve detaylı çözümler yer almaktadır.
İçindekiler
1. 3. Soru Çözümü
Soru:
A = \bigl[-\tfrac{3}{2},\sqrt5\bigr] ve B = \bigl[-\sqrt3,\tfrac{16}{3}\bigr] kapalı aralıkları için (A\cup B)\cap\mathbb Z kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm:
- A=[-1.5,\,2.236…], B=[-1.732…,\,5.333…].
- Birleştirilince [-1.732…,\,5.333…].
- İçindeki tam sayılar: -1,0,1,2,3,4,5
- Toplam eleman sayısı: 7
Cevap: D) 7
2. 4. Soru Çözümü
Soru:
-2 < x < 4 olduğuna göre 1 - x ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
- x\in(-2,4)\implies 1-x\in(1-4,\,1-(-2))=(-3,\,3).
- Açık aralıkta asla 3 olamaz, ama $3$’e çok yaklaşır.
- Bu aralıkta alınabilecek en büyük tam sayı değeri: 2
Cevap: D) 2
3. Özet Tablosu
| Soru No | Aralık Türü | Eleman/Kapsam | Cevap |
|---|---|---|---|
| 3 | Kapalı [\,] | Tam sayılar | 7 |
| 4 | Açık (\,) | İfade değeri tam sayıları | 2 |
4. Sıkça Sorulan Sorular
- Kapalı aralık ile açık aralığın sembolik farkı nedir?
- Bir aralıkta tam sayı sayısını bulmak için ne yapılmalıdır?
- Açık aralıkta ifadenin alabileceği en büyük tam sayı nasıl tespit edilir?
- Birleştirilmiş aralıkta eksik kısımlar nasıl kontrol edilir?
Başka benzer YKS TYT aralık soruları çözmek ister misiniz? @Aysegul_Huzmeli