- Aşağıda hareket halindeki bir otobüste bulu-
nan yolcu sayısı verilmiştir.
Yolcu Sayısı =30
Bu otobüs durağa geldiğinde otobüsten için-
deki i yolcu sayısınin asal
al çarpanlarının top-
lamı kadar yolcu inmiş, kalan yolcu sayısinın
asal çarpanlarının toplamı kadar yolcu da
otobüse binmiştir.
Buna göre son durumda otobüste kaç
yolcu bulunur?
A) 25 B) 27
C) 29 D) 31 - A ve B sayıları üç basamaklı birer doğal sayı
olup bu sayıların asal çarpanları aşağıda ve-
rilmiştir.
A sayısınin asal çarpanları
A) 223
2
5
B sayısının asal çarpanları
3
7
Buna göre A ve B sayılarının toplamı en
az kaçtır?
B) 235 C) 247 D) 289
4. Soru: Otobüsteki Yolcu Sayısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir pozitif tam sayının asal çarpanları, sayıyı kalansız bölen asal sayılardır.
- Kalan Yolcu Sayısı = \text{Başlangıçtaki Yolcu} - \text{İnen Yolcu}
- Son Durumdaki Yolcu Sayısı = \text{Kalan Yolcu} + \text{Binen Yolcu}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İnen Yolcu Sayısını Bulma
Başlangıçtaki yolcu sayısı 30’dur. 30 sayısının asal çarpanlarını belirleyelim:
30 = 2 \times 3 \times 5
Asal çarpanları: 2, 3 ve 5’tir.
Bu çarpanların toplamı kadar yolcu inmiştir:
\text{İnen Yolcu} = 2 + 3 + 5 = 10
Adım 2 — Kalan Yolcu Sayısını Hesaplama
Otobüste kalan yolcu sayısı:
30 - 10 = 20
Adım 3 — Binen Yolcu Sayısını Bulma
Kalan yolcu sayısı olan 20’nin asal çarpanlarını bulalım:
20 = 2^2 \times 5
Asal çarpanları: 2 ve 5’tir.
Bu çarpanların toplamı kadar yolcu otobüse binmiştir:
\text{Binen Yolcu} = 2 + 5 = 7
Adım 4 — Son Durumdaki Yolcu Sayısını Hesaplama
Kalan yolculara yeni binen yolcuları ekleyelim:
\text{Son Durum} = 20 + 7 = 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Asal Çarpan: Bir sayıyı bölen asal sayılardır. Bir asal sayı üslü olarak birden fazla geçse bile (örneğin 20 = 2^2 \times 5) asal çarpanlar kümesine yalnızca bir kez (2 ve 5) dahil edilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 20’nin asal çarpanlarını toplarken 2 + 2 + 5 = 9 şeklinde üsleri çarpan olarak tekrar tekrar toplamak.- Doğru Yaklaşım: Sayının farklı asal çarpanları 2 ve 5 olduğu için sadece 2 + 5 = 7 toplamını almaktır.
5. Soru: Üç Basamaklı Asal Çarpan Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Yalnızca verilen asal çarpanlara sahip sayılar; bu asalların pozitif tam sayı kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılır:A = 2^a \cdot 5^b \quad (a \ge 1, \; b \ge 1)B = 3^x \cdot 7^y \quad (x \ge 1, \; y \ge 1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En Küçük Üç Basamaklı A Sayısını Bulma
A sayısının asal çarpanları yalnızca 2 ve 5 olduğundan, A \ge 100 koşulunu sağlayan en küçük 2^a \cdot 5^b değerini arayalım:
- a = 1 \implies 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50 (İki basamaklı)
- a = 2 \implies 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 (Üç basamaklı en küçük değer)
Buradan en küçük A sayısı:
A = 100
Adım 2 — En Küçük Üç Basamaklı B Sayısını Bulma
B sayısının asal çarpanları yalnızca 3 ve 7 olduğundan, B \ge 100 koşulunu sağlayan en küçük 3^x \cdot 7^y değerini arayalım:
- y = 1 için:
- x = 1 \implies 3^1 \cdot 7^1 = 21
- x = 2 \implies 3^2 \cdot 7^1 = 9 \cdot 7 = 63
- x = 3 \implies 3^3 \cdot 7^1 = 27 \cdot 7 = 189
- y = 2 için:
- x = 1 \implies 3^1 \cdot 7^2 = 3 \cdot 49 = 147
147 < 189 olduğundan, üç basamaklı en küçük B sayısı:
B = 147
Adım 3 — Toplamı Hesaplama
En küçük A ve B sayılarının toplamı:
A + B = 100 + 147 = 247
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 247
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Asal Çarpanlarına Ayrılma: Bir sayının sadece belirtilen asal çarpanlara sahip olması, bu asalların her birinin en az birinci kuvvetten bulunmasını gerektirir (a, b \ge 1).
Asal çarpanlar konusuyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?