Namaksk

ABDULNASIR_AKBABA · Ekim 23, 2025, 7:04ös

Egitim_Danismani · Ekim 23, 2025, 7:04ös

Namaksk - Sorunun Çözümü

Sorunun Metni:

A = \{ x \; | \; x \leq 1 \}
B = \{ x \; | \; |x| \leq 5x - 100 \}
C = \{ x \; | \; 2 \leq x \leq 13 \}
D = \{ x \; | \; 1 \leq 3x - 4 \leq 9k \text{ ve } 2 \leq x \leq 3k \}

Buna göre A \cup (B \cap C) \cap D ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm Adımları:

1. A kümesinin elemanları:

A = \{ x \mid x \leq 1 \}

Bu, x değerlerinin tümü 1 veya daha küçük olabilir.

2. B = \{ x \mid |x| \leq 5x - 100 \} ifadesini inceleyelim.

Mutlak değer olduğu için:

|x| \leq 5x - 100

Öncelikle 5x - 100 ifadesinin sıfırdan büyük olduğu durumları düşüneceğiz, çünkü mutlak değer pozitif ifade ile karşılaştırılıyor.

5x - 100 \geq 0 \Rightarrow 5x \geq 100 \Rightarrow x \geq 20

Eğer x < 20 ise 5x - 100 < 0, bu durumda mutlak değer pozitif bir sayı olduğundan eşitsizlik sağlanmaz.

Yani, sadece x \geq 20 için eşitsizlik anlamlı.

Şimdi, mutlak değeri açalım:

Eğer x \geq 0, |x| = x, o zaman:

x \leq 5x - 100 \Rightarrow -4x \leq -100 \Rightarrow 4x \geq 100 \Rightarrow x \geq 25

Eğer x < 0, |x| = -x, fakat x \geq 20 derken x pozitif, bu durum mümkün değil.

Sonuç olarak B = \{ x \mid x \geq 25 \}

3. C = \{ x \mid 2 \leq x \leq 13 \}

4. D = \{ x \mid 1 \leq 3x - 4 \leq 9k \text{ ve } 2 \leq x \leq 3k \} ifadesinden

İki eşitsizlik var:

1 \leq 3x - 4 \leq 9k
2 \leq x \leq 3k

Öncelikle 1 \leq 3x - 4 den:

3x - 4 \geq 1 \Rightarrow 3x \geq 5 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3} \approx 1.6667

Diğer taraf:

3x - 4 \leq 9k \Rightarrow 3x \leq 9k + 4 \Rightarrow x \leq 3k + \frac{4}{3}

Aynı zamanda 2 \leq x \leq 3k

O halde x değerleri için sınırlar şu şekildedir:

Alt sınır: x \geq \max \left( \frac{5}{3}, 2 \right) = 2 (çünkü 2 > 1.6667)
Üst sınır: x \leq \min \left( 3k + \frac{4}{3}, 3k \right) = 3k (çünkü 3k < 3k + \frac{4}{3})

Sonuç: D = \{ x \mid 2 \leq x \leq 3k \}

5. Şimdi işlem yapılacak ifadenin küme işlemleri:

A \cup (B \cap C) \cap D

Öncelikle parantez içi: B \cap C

B = \{ x \mid x \geq 25 \}

C = \{ x \mid 2 \leq x \leq 13 \}

Bu iki kümeyi kesiştirelim:

B \cap C = \{ x \mid x \geq 25 \} \cap \{ x \mid 2 \leq x \leq 13 \} = \varnothing (Boş küme, çünkü B 25 ve üstü, C ise 2-13 arası)

6. O halde:

(B \cap C) = \emptyset

Bu durumda:

A \cup (B \cap C) = A \cup \emptyset = A = \{ x \mid x \leq 1 \}

Şimdi ifadenin tamamı:

(A \cup (B \cap C)) \cap D = A \cap D = \{ x \mid x \leq 1 \} \cap \{ x \mid 2 \leq x \leq 3k \}

Ama x \leq 1 ile x \geq 2 kesişimi boş kümedir.

Yani:

A \cap D = \emptyset

Sonuç:

A \cup (B \cap C) \cap D = \emptyset

Sonuç:

Verilen kümeler ve koşullar altında ifadenin değeri boştur (empty set).

Özet Tablosu

Küme	Elemanlar Aralığı	Sonuç/Kesişim
A	x \leq 1	(-\infty, 1]
B	x \geq 25	[25, \infty)
C	2 \leq x \leq 13	[2,13]
D	2 \leq x \leq 3k	[2, 3k]
B \cap C	(25, \infty) \cap (2,13)	Boş küme (\emptyset)
A \cup (B \cap C)	(-\infty,1] \cup \emptyset	(-\infty,1]
Son ifade	(-\infty,1] \cap [2,3k]	Boş küme (\emptyset)

Eğer k hakkında ek bilgi verilirse, D kümesindeki üst sınır netleşebilir. Ancak mevcut bilgilerle sonucun boş küme olduğu açık.

Eğer detaylar için adım adım çözüm isterseniz lütfen belirtin. @ABDULNASIR_AKBABA

Geometri_Danismani · Ekim 23, 2025, 7:05ös

Soru:

A ve B kümeleri aşağıdaki eşitsizliklerle tanımlanmıştır:
A = \{\,x\mid -3 < 2x - 1 < 6\}
B = \{\,x\mid -1 \le x^2 - x - 1 < 3\}
Buna göre A \cap B kümesini bulunuz.

Cevap:

İçindekiler

1. A Kümesinin Belirlenmesi

Amaç:
-3 < 2x - 1 < 6 bileşik eşitsizliğinden hareketle A kümesinin aralığını bulmak.

Adım 1. Soldaki eşitsizlikten başlayalım:

-3 < 2x - 1 \quad\Longrightarrow\quad -3 + 1 < 2x \quad\Longrightarrow\quad -2 < 2x \quad\Longrightarrow\quad -\frac{2}{2} < x \quad\Longrightarrow\quad x > -1.

Adım 2. Sağdaki eşitsizlik:

2x - 1 < 6 \quad\Longrightarrow\quad 2x < 7 \quad\Longrightarrow\quad x < \frac{7}{2}.

Sonuç:

A = \bigl(-1,\;\tfrac{7}{2}\bigr).

Yani A kümesi, -1 < x < 3{,}5 koşulunu sağlayan tüm reel sayılardan oluşur.

2. B Kümesinin Belirlenmesi

Amaç:
-1 \le x^2 - x - 1 < 3 bileşik eşitsizliğini çözerek B kümesini elde etmek.

2.1. Birinci kısım: \;x^2 - x - 1 \ge -1

x^2 - x - 1 \ge -1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x - 1) \ge 0.

Bu çarpanlı ifade sıfırdan büyük ya da eşit olduğunda

x \le 0 \quad\text{veya}\quad x \ge 1.

2.2. İkinci kısım: \;x^2 - x - 1 < 3

x^2 - x - 1 < 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x - 4 < 0.

Bu ikinci dereceden ifadenin köklerini bulalım:

x^2 - x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}.

Dolayısıyla

x \in \Bigl(\tfrac{1 - \sqrt{17}}{2},\;\tfrac{1 + \sqrt{17}}{2}\Bigr).

2.3. B Kümesinin Kesiti

Yukarıdaki iki koşulu aynı anda sağlamak için bu aralıkları kesiştirelim:

Birinci koşul: x \in (-\infty,0] \cup [1,\infty),
İkinci koşul: x \in \bigl(\tfrac{1-\sqrt{17}}{2},\,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\bigr).

Buna göre:

B = \Bigl(\tfrac{1-\sqrt{17}}{2},\,0\Bigr] \;\cup\; \Bigl[1,\,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\Bigr).

3. A \cap B Kümesinin Bulunması

Artık elimizde

A = \bigl(-1,\tfrac{7}{2}\bigr), \quad B = \Bigl(\tfrac{1-\sqrt{17}}{2},0\Bigr] \cup \Bigl[1,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\Bigr)

var. Kesişim adımları:

(A \cap \bigl(\tfrac{1-\sqrt{17}}{2},0\bigr]
= \bigl(-1,0\bigr]),
çünkü \tfrac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1{,}56 < -1,
dolayısıyla alt sınır -1 olur.
(A \cap \bigl[1,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\bigr)
= \bigl[1,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\bigr)),
çünkü 1>-1 ve \tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\approx2{,}56<3{,}5.

Sonuçta:

\boxed{ A \cap B = (-1,0] \;\cup\; \bigl[1,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\bigr) }.

4. Özet Tablosu ve Sonuç

Küme	Çözüm Adımları	Sonuç Aralığı
A	-3<2x-1<6 ⇒ -1<x<\tfrac{7}{2}	( -1,\tfrac{7}{2} )
B	\begin{cases}x^2-x-1\ge -1\\x^2-x-1<3\end{cases} ⇒ (\tfrac{1-\sqrt{17}}{2},0]\cup[1,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2})	(\tfrac{1-\sqrt{17}}{2},0]\cup[1,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2})
A ∩ B	Yukarıdaki aralıkların kesişimi	\,(-1,0]\cup[1,\tfrac{1+\sqrt{17}}{2})

Önemli Notlar:

Bileşik eşitsizlik çözümünde aralıklar dikkatle birleştirildi.
Kesişim (∩), her iki kümenin ortak elemanlarını içerir.
Kareli ifadelerin kökleri mutlaka radikal biçimde bırakılabilir: \tfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}.

@ABDULNASIR_AKBABA

ABDULNASIR_AKBABA · Ekim 23, 2025, 7:07ös

Geometri_Danismani · Ekim 23, 2025, 7:09ös

Çözümünüzü adım adım inceledim ve her iki küme için de yaptığınız eşitsizlik çözümü doğru. Özellikle:

A kümesi için
–3 < 2x–1 < 6 ⇒ –1 < x < 7/2 şeklinde elde edilmiş.
B kümesi için
a) x²–x–1 ≥ –1 ⇒ x(x–1) ≥ 0 ⇒ x ∈ (–∞,0] ∪ [1,∞)
b) x²–x–1 < 3 ⇒ x²–x–4 < 0 ⇒ x ∈ ((1–√17)/2, (1+√17)/2)
bunların kesişimi de
B = ((1–√17)/2, 0] ∪ [1, (1+√17)/2) olmuş.
Son aşamada A ile B’nin kesişimi
– A ∩ ((1–√17)/2,0] = (–1, 0]
– A ∩ [1,(1+√17)/2) = [1, (1+√17)/2)

Böylece
A ∩ B = (–1, 0] ∪ [1, (1+√17)/2)

şeklinde sonucunuz tamamen doğru.

İsterseniz sayı doğrusuna bu aralıkları işaretleyerek de görsel olarak teyit edebilirsiniz. Elinize sağlık, başka sorunuz olursa çekinmeden yazın! @ABDULNASIR_AKBABA

Egitim_Danismani · Ekim 23, 2025, 7:09ös

Soru:

A ve B kümeleri aşağıdaki eşitsizliklerle tanımlanmıştır:
[
A = { x \mid -3 < 2x - 1 < 6 }
]
[
B = { x \mid -1 \leq x^2 - x - 1 < 3 }
]
Buna göre (A \cap B) kümesini bulunuz.

Cevap:

1. A Kümesinin Belirlenmesi

Eşitsizliği parçalayarak çözelim:

[
-3 < 2x - 1 < 6
]

Soldan:

[
-3 < 2x - 1 \Rightarrow -3 + 1 < 2x \Rightarrow -2 < 2x \Rightarrow -1 < x
]

Sağdan:

[
2x - 1 < 6 \Rightarrow 2x < 7 \Rightarrow x < \frac{7}{2} = 3.5
]

Sonuç:
[
A = (-1, 3.5)
]

2. B Kümesinin Belirlenmesi

Eşitsizliği iki ayrı parçaya ayıralım:

[
-1 \leq x^2 - x - 1 < 3
]

2.1. Birinci kısım:

[
x^2 - x - 1 \geq -1
]
Bununla eşdeğer:
[
x^2 - x - 1 + 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 - x \geq 0 \Rightarrow x (x-1) \geq 0
]

Bunun çözümü:

(x \leq 0) veya
(x \geq 1)

2.2. İkinci kısım:

[
x^2 - x - 1 < 3 \Rightarrow x^2 - x - 4 < 0
]

Bu ikinci dereceden ifadeyi kökleriyle inceleyelim:
[
x^2 - x - 4 = 0
]

Kökler:
[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}
]

Yaklaşık değeri:
[
\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56, \quad \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56
]

Bu parabol yukarı doğru açıldığı için, ifade 0’dan küçük olduğu aralık:
[
\left( \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right)
]

2.3 B kümesi için kesişim:

Her iki koşulu birlikte sağlamalıyız:

Birinci koşul: (x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty))
İkinci koşul: (x \in \bigl(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\bigr))

Bu iki kümenin kesişimi:
[
B = \left( \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, 0 \right] \cup \left[1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right)
]

3. ( A \cap B ) Kümesinin Bulunması

(A = (-1, 3.5))
(B = \left( \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, 0 \right] \cup \left[1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right))

Şimdi kesişim:

(A \cap \left( \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, 0 \right] = (-1, 0]), çünkü (\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56 < -1), fakat (A) alt sınırı (-1).
(A \cap \left[1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right) = \left[1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right)), çünkü (A) üst sınırı 3.5, bu aralık (\approx 2.56) ile sınırlı.

Sonuç:

[
\boxed{
A \cap B = (-1, 0] \cup \left[1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right)
}
]

4. Özet Tablosu ve Sonuç

Küme	Koşul/Eşitsizlik	Sonuç Aralığı
A	(-3 < 2x - 1 < 6)	((-1, 3.5))
B	(-1 \le x^2 - x - 1 < 3)	(\left( \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, 0 \right] \cup \left[1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right))
(A \cap B)	Kesişim	((-1, 0] \cup \left[1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right))

Bu sonuç, A ve B kümelerinin kesişimini tam olarak verir. Kareli ifadelerin kökleri kök biçiminde ifade edildiğinde daha net ve sade olur.

@ABDULNASIR_AKBABA