n ve a birer pozitif tam sayı,
f(x) = a dot x^n
fonksiyonu veriliyor.
• f(a) = 16
• f'(a^2) = 96
olduğuna göre, n - a farkı kaçtır?
A) -3
B) -1
C) 1
D) 2
E) 3
Polinom Fonksiyonlarda Türev ve Üslü İfade Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) = a \cdot x^n kuvvet fonksiyonunun türevi kuvvet kuralı gereğince f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} biçiminde alınır. a ve n pozitif tam sayılar (\mathbb{Z}^+) olduğundan üslü denklem çözümüyle olası değerler irdelenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — f(a) = 16 Eşitliğinden Değer Çiftlerini Belirleme
Fonksiyonda x yerine a yazıldığında tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılır:
f(a) = a \cdot a^n = a^{n+1} = 16
a ve n birer pozitif tam sayı (a, n \ge 1) olduğundan a^{n+1} = 16 eşitliğini sağlayan durumlar:
- a = 2 ise 2^{n+1} = 2^4 \implies n + 1 = 4 \implies n = 3
- a = 4 ise 4^{n+1} = 4^2 \implies n + 1 = 2 \implies n = 1
- a = 16 ise n + 1 = 1 \implies n = 0 (n pozitif tam sayı şartına uymaz)
Adım 2 — Türev Fonksiyonunu Bulma ve f'(a^2) = 96 Şartını Sağlama
Fonksiyonun türevi alınıp x yerine a^2 yazılır:
f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} \implies f'(a^2) = a \cdot n \cdot (a^2)^{n-1} = n \cdot a^{2n-1}
Belirlenen aday çiftler test edilir:
- (a = 4, n = 1) için: f'(16) = 1 \cdot 4^{2(1)-1} = 4 \neq 96
- (a = 2, n = 3) için: f'(4) = 3 \cdot 2^{2(3)-1} = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96 (Eşitlik sağlanır)
Buradan a = 2 ve n = 3 olarak bulunur.
Adım 3 — İstenen n - a Farkını Hesaplama
n - a = 3 - 2 = 1
CEVAP: C) 1 (n - a = 3 - 2 = 1)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda a ve n’nin “pozitif tam sayı” olarak sınırlandırılması, üslü denklemi sonsuz reel sayı çözümü yerine sonlu tam sayı ihtimallerine indirger. İhtimalleri türev denklemine yazarak sağlamasını yapmak en hızlı ve risksiz yoldur.