N. satır: 209, 210

Question Answer
1
  1. satır: 1
  2. satır: 2, 3
  3. satır: 4, 5, 6
  4. satır: $7, 8, 9, 10$$1 1 1
    n. satır: 209, 210
    Yukarıda gösterilen düzene göre n kaçtır?
    A) 21
    B) 22
    C) 20
    D) 19
    E) 23

satır: 209, 210 Yukarıda gösterilen düzene göre n kaçtır?
satır: 209, 210 Yukarıda gösterilen düzene göre n kaçtır?951×800 118 KB

2

Ardışık Sayılar ve Sayı Piramidi Problemleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Her satırındaki eleman sayısı satır numarasına eşit olan sayı piramitlerinde, n. satırın sonundaki terim, ilk n terimin toplamı olan Gauss formülü \frac{n(n+1)}{2} ile hesaplanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Satırlardaki Eleman Sayısı ve Son Sayı İlişkisini Belirleme
Piramit düzeni incelendiğinde:

    1. satırda 1 adet sayı vardır ve son sayı: 1
    1. satırda 2 adet sayı vardır ve son sayı: 1 + 2 = 3
    1. satırda 3 adet sayı vardır ve son sayı: 1 + 2 + 3 = 6
    1. satırda 4 adet sayı vardır ve son sayı: 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Bu kurala göre sayılar 1’den itibaren ardışık olarak yazıldığından, n. satırdaki son sayı ilk n pozitif tam sayının toplamına eşittir.

Adım 2 — n Değerini Hesaplama
Görselde n. satırın en sonundaki kutuda 210 sayısı yer almaktadır:

\frac{n(n+1)}{2} = 210

İçler dışlar çarpımı yapıldığında:

n(n+1) = 420

Çarpımları 420 olan ardışık iki pozitif tam sayı bulunur:

20 \times 21 = 420 \implies n = 20

:white_check_mark: CEVAP: C) 20 (n = 20)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür üçgensel sayı dizilerinde denklemi açıp ikinci dereceden kök bulmak yerine, n(n+1) \approx n^2 yaklaşımıyla \sqrt{420} \approx 20 ilişkisini kullanarak ardışık çarpanları pratik yoldan bulabilirsiniz.

3

@sorumatik_ai Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla

4

Bu soruyu en sade ve anlaşılır mantığıyla adım adım inceleyelim:

1. Mantığı ve Örüntüyü Keşfetme

Piramitte sayılar 1’den başlayarak sırasıyla kutulara yazılmış. Her satırdaki kutu sayısı ise satır numarasıyla aynı:

  • 1. satırda: 1 tane sayı var \rightarrow En son sayı: 1
  • 2. satırda: 2 tane sayı var (2, 3) \rightarrow Toplam yazılan sayı: 1 + 2 = 3. En son sayı: 3
  • 3. satırda: 3 tane sayı var (4, 5, 6) \rightarrow Toplam yazılan sayı: 1 + 2 + 3 = 6. En son sayı: 6
  • 4. satırda: 4 tane sayı var (7, 8, 9, 10) \rightarrow Toplam yazılan sayı: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. En son sayı: 10

Fark ettiğin gibi, her satırın en sağındaki (en sonundaki) sayı, o satıra kadar kullanılan toplam kutu (sayı) adedine eşittir.

2. Kuralı n. Satıra Uygulama

Bizden istenen n. satırın en sonundaki sayı görselde 210 olarak verilmiş.

Demek ki 1. satırdan n. satıra kadar olan kutu sayılarının toplamı 210 yapmalı:

1 + 2 + 3 + \dots + n = 210

1’den n’ye kadar olan ardışık sayıların toplam formülü şudur:

\frac{n \cdot (n + 1)}{2} = 210

3. n Değerini Bulma

Eşitlikte bölü 2’yi karşı tarafa çarpı olarak atalım:

n \cdot (n + 1) = 210 \times 2
n \cdot (n + 1) = 420

Burada n ile (n + 1) ardışık iki sayıdır (biri diğerinden 1 fazla).
“Hangi ardışık iki sayıyı çarparsam 420 eder?” diye düşünürüz:

  • 20 \times 20 = 400 olduğuna göre, sayılardan biri 20 civarında olmalıdır.
  • 20 \times 21 = 420 eşitliği tam olarak sağlar.

Buradan küçük olan sayı yani n = 20 bulunur.

Doğru seçenek C şıkkıdır.

5

@sorumatik_ai nasıl satır olm iyi bak soruya

6

Görsele ve sağdaki yazılara birlikte dikkatlice bakalım:

1. Görseldeki Sağ Tarafa Dikkat

Piramitteki her bir yatay sıranın (katın) hemen sağında soruyu basan kitabın kendi orijinal yazısı yer alıyor:

  • En tepedeki [1] kutusunun sağında: “1. satır”
  • Altındaki [2][3] kutularının sağında: “2. satır”
  • Altındaki [4][5][6] kutularının sağında: “3. satır”
  • Altındaki [7][8][9][10] kutularının sağında: “4. satır”
  • En altta ise [ \ ] [ \ ] \dots [209][210] sırasının hemen sağında: “n. satır” yazıyor.

Yani soru metnindeki n, bu piramidin en altındaki satırın numarasıdır (piramidin kaç katlı olduğunu gösterir).

2. Buradaki Düzen (Kural) Nedir?

Sayılar kutuların içine 1, 2, 3, 4, \dots diye ardışık ve kesintisiz şekilde yazılmış:

  • 1. satırda 1 adet kutu kullanılmış \rightarrow en son kutudaki sayı: 1
  • 2. satıra kadar toplam 1 + 2 = 3 kutu kullanılmış \rightarrow en son kutudaki sayı: 3
  • 3. satıra kadar toplam 1 + 2 + 3 = 6 kutu kullanılmış \rightarrow en son kutudaki sayı: 6
  • 4. satıra kadar toplam 1 + 2 + 3 + 4 = 10 kutu kullanılmış \rightarrow en son kutudaki sayı: 10

3. n. Satırda Ne Oluyor?

Bu düzen n. satıra kadar devam ettiğinde, en son yazılan sayı görselde açıkça görüldüğü üzere 210’dur.

Sayılar 1’den başlayıp birer birer arttığı için; en son sayı 210 ise, en başından sonuna kadar toplam 210 adet kutu (sayı) kullanılmıştır.

Kullandığımız kutu sayısı:

1 + 2 + 3 + \dots + n = 210

Gauss toplam formülünden:

\frac{n \cdot (n+1)}{2} = 210
n \cdot (n+1) = 420

Çarpımları 420 olan ardışık iki sayı 20 \times 21 = 420 olduğundan:
$$n = 20$$ bulunur.

Soru tam olarak en alttaki satır numarasını (n) sorduğu için cevap C) 20’dir.