N pozitif bir gerçek sayı olmak üzere

YKS TYT
1

n pozitif bir gerçek sayı olmak üzere

\sqrt{2n} + 4 = n - 2\sqrt{2}

eşitliği veriliyor.
Buna

göre n sayısının leftlfloor 68 - 48 \sqrt{2} rightrfloor katı kaçtır?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12

n pozitif bir gerçek sayı olmak üzere 2n + 4 = n - 2 2 eşitliği veriliyor.
n pozitif bir gerçek sayı olmak üzere 2n + 4 = n - 2 2 eşitliği veriliyor.669×212 14.2 KB

2

n Pozitif Gerçek Sayısı İçin İfade Değerinin Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER / KURALLAR:

  • İkinci dereceden denklemlerin çözümü: ax^2 + bx + c = 0 denkleminde x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ve \Delta = b^2 - 4ac
  • İç içe kök kuralı: \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} (burada x+y=a ve x \cdot y=b, x > y)
  • İki kare farkı özdeşliği: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Eşitliği Düzenleme ve Değişken Değiştirme

Verilen denklemde terimleri bir araya toplayalım:

\sqrt{2n} + 4 = n - 2\sqrt{2}
4 + 2\sqrt{2} = n - \sqrt{2n}

\sqrt{n} = u (u > 0) dönüşümü yaparsak n = u^2 olur:

u^2 - \sqrt{2}u - (4 + 2\sqrt{2}) = 0

Adım 2 — İkinci Dereceden Denklemi Çözme

Denklemin diskriminantını (\Delta) hesaplayalım:

\Delta = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(4 + 2\sqrt{2}))
\Delta = 2 + 16 + 8\sqrt{2} = 18 + 8\sqrt{2}

\sqrt{\Delta} ifadesini iç içe kök kuralını kullanarak sadeleştirelim:

\sqrt{18 + 8\sqrt{2}} = \sqrt{18 + 2\sqrt{32}}

Toplamları 18, çarpımları 32 olan sayılar 16 ve 2’dir:

\sqrt{18 + 2\sqrt{32}} = \sqrt{16} + \sqrt{2} = 4 + \sqrt{2}

u köklerini bulalım (u > 0 olmalıdır):

u = \frac{\sqrt{2} + (4 + \sqrt{2})}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}

Adım 3 — n Değerini Bulma

\sqrt{n} = u = 2 + \sqrt{2} olduğuna göre, her iki tarafın karesini alalım:

n = (2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2
n = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}

Adım 4 — \sqrt{68 - 48\sqrt{2}} İfadesini Sadeleştirme

İç içe kök kuralı için ifadeyi 2\sqrt{b} formuna getirelim:

\sqrt{68 - 48\sqrt{2}} = \sqrt{68 - 2\sqrt{24^2 \cdot 2}} = \sqrt{68 - 2\sqrt{576 \cdot 2}} = \sqrt{68 - 2\sqrt{1152}}

Toplamları 68, çarpımları 1152 olan sayılar 36 ve 32’dir (36 + 32 = 68 ve 36 \times 32 = 1152):

\sqrt{68 - 48\sqrt{2}} = \sqrt{36} - \sqrt{32} = 6 - 4\sqrt{2}

Adım 5 — İstenen Çarpım Değerini Hesaplama

n sayısının \sqrt{68 - 48\sqrt{2}} katı:

n \cdot \sqrt{68 - 48\sqrt{2}} = (6 + 4\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2})

İki kare farkı özdeşliğini uygularsak:

(6)^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - 32 = 4

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A şıkkı (4)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. İç İçe Kökler

  • Tanım: \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} biçimindeki ifadeleri tam kare açılımından yararlanarak kök dışına çıkarma yöntemidir.
  • Bu problemde: Hem diskriminant kökü \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} bulunurken hem de \sqrt{68 - 48\sqrt{2}} ifadesi sadeleştirilirken kullanılmıştır.

2. Değişken Değiştirme Yöntemi

  • Tanım: Kök içeren denklemleri bilinen standart polinom denklem formuna dönüştürme tekniğidir.
  • Bu problemde: \sqrt{n} = u dönüşümü yapılarak denklem ikinci dereceden bir bilinmeyenli hale getirilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kök Dışına Çıkarırken Katsayıyı Yanlış Ayarlama

  • Yanlış: \sqrt{68 - 48\sqrt{2}} ifadesinde katsayıyı doğrudan bölerek çarpan aramak.
  • Doğru: İçerideki kökün önünde mutlaka 2 çarpanı bırakılıp (48 = 2 \times 24), kalan 24 sayısının karesi içeri alınmalıdır (24^2 = 576).
  • Neden yanlış: İç içe kök kuralı (x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2 açılımından geldiği için kök önünde kesinlikle 2 katsayısı bulunmalıdır.

Bu soruda uyguladığımız iç içe kök yöntemini veya değişken değiştirme tekniğini pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?