sin x · cos x = 1/4 olduğuna göre sin x + cos x toplamının sin x − cos x farkına oranı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
Verilen:
\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{4}
Bulmak istediğimiz:
\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}
Adım 1: İfadeleri karelerine ayıralım
Öncelikle, toplam ve farkın karelerini yazalım:
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x
(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x
Hatırlayalım ki,
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
Buna göre:
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x
(\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2 \sin x \cos x
Adım 2: Verilen değeri yerine koy
\sin x \cos x = \frac{1}{4}
Buna göre:
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
(\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
Adım 3: Oranı bul
İstenen oran:
\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = \pm \sqrt{\frac{(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)^2}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}} = \pm \sqrt{3}
Sonuç:
Oran \pm \sqrt{3} olabilir. Seçeneklerde sadece pozitif \sqrt{3} var (C şıkkı).
Özet Tablosu
| İfade | Değer |
|---|---|
| \sin x \cos x | \frac{1}{4} |
| (\sin x + \cos x)^2 | \frac{3}{2} |
| (\sin x - \cos x)^2 | \frac{1}{2} |
| \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} | \pm \sqrt{3} |
Cevap: C) \sqrt{3}
Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! @ogrenci13
Soru: sin x · cos x = 1/4 olduğuna göre sin x + cos x toplamının sin x – cos x farkına oranı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
İçindekiler
- Genel Bakış
- Temel Kavramlar
- Adım Adım Çözüm
- Analitik Yöntem ile Çözüm
- Örnek Değerlerle Doğrulama
- Sonuç ve Doğru Seçenek
- Özet Tablosu
- Ek İpuçları
1. Genel Bakış
Bu soruda elimizdeki temel bilgi
sin x · cos x = 1/4
eşitliğinden hareketle,
sin x + cos x ile sin x – cos x ifadelerinin birbirine oranını bulmamız isteniyor.
Seçenekler:
A) 1
B) √2
C) √3
D) 2
E) 3
2. Temel Kavramlar
- sin² x + cos² x = 1 (trigonometrinin temel kimliği)
- sin x + cos x ve sin x – cos x ifadelerinin kareleri, aşağıdaki formüllerle sadeleşir:
- (sin x + cos x)² = sin² x + cos² x + 2 sin x cos x
- (sin x – cos x)² = sin² x + cos² x – 2 sin x cos x
3. Adım Adım Çözüm
-
Verilen bilgiyi kullan
sin x · cos x = 1/4 -
Toplama ve çıkarma ifadelerinin karelerini yaz
- S = sin x + cos x ⇒
S^2 = (sin x + cos x)^2 = sin^2x + cos^2x + 2 \, sinx \, cosx - D = sin x – cos x ⇒
D^2 = (sin x – cos x)^2 = sin^2x + cos^2x – 2 \, sinx \, cosx
- S = sin x + cos x ⇒
-
Kimlikleri ve verilen değeri yerine koy
- sin² x + cos² x = 1
- 2 sin x cos x = 2 · (1/4) = 1/2
Dolayısıyla
S^2 = 1 + \tfrac12 = \tfrac32
D^2 = 1 – \tfrac12 = \tfrac12 -
S ve D değerlerini belirle
- S = ±√(3/2)
- D = ±√(1/2)
-
Oranı hesapla
R = \frac{S}{D} = \frac{±\sqrt{\tfrac32}}{±\sqrt{\tfrac12}} = \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} = \sqrt{3}
(İşaretler aynı yönlü seçilirse pozitif, ters yönlü seçilirse negatif √3 çıkar.)
4. Analitik Yöntem ile Çözüm
Alternatif olarak açı değerleri üzerinden de kontrol edebiliriz:
- sin x · cos x = 1/4 ⇒ sin 2x = 2 sin x cos x = 1/2
⇒ 2x = 30° + 360°·k veya 150° + 360°·k
⇒ x = 15° + 180°·k veya x = 75° + 180°·k
-
x = 15° için
- sin 15° + cos 15° ≈ 0.2588 + 0.9659 = 1.2247
- sin 15° – cos 15° ≈ 0.2588 – 0.9659 = –0.7071
- R ≈ 1.2247 / (–0.7071) ≈ –1.732 = –√3
-
x = 75° için
- sin 75° + cos 75° ≈ 0.9659 + 0.2588 = 1.2247
- sin 75° – cos 75° ≈ 0.9659 – 0.2588 = 0.7071
- R ≈ 1.2247 / 0.7071 ≈ 1.732 = √3
Her iki durumda da oranın mutlak değeri √3 çıkmaktadır. Pozitif sonuç almak için x=75° gibi açılar tercih edilir.
5. Örnek Değerlerle Doğrulama
Tablo halinde özetlersek:
| x değeri | sin x + cos x | sin x – cos x | Oran (R) |
|---|---|---|---|
| 15° | 1.2247 | –0.7071 | –1.732 (–√3) |
| 75° | 1.2247 | 0.7071 | 1.732 (√3) |
6. Sonuç ve Doğru Seçenek
- Analitik ve cebirsel yöntemler √3 sonucunu getirmektedir.
- Seçenekler arasında C) √3 doğru cevaptır.
Doğru cevap: C) √3
7. Özet Tablosu
| İfade | Değeri |
|---|---|
| sin² x + cos² x | 1 |
| 2 sin x cos x | 1/2 |
| (sin x + cos x)² = S² | 3/2 ⇒ S = ±√(3/2) |
| (sin x – cos x)² = D² | 1/2 ⇒ D = ±√(1/2) |
| Oran R = S/D | ±√3 ⇒ Pozitifse √3 |
8. Ek İpuçları
- S^2 ve D^2 hesapları, trigonometrik kimliklerin işinizi ne kadar kolaylaştırdığını gösterir.
- Oranın işaretine dikkat etmek için açı bölgesine (1., 2., 3. çeyrek) bakabilirsiniz.
- Sadeleştirmelerde payda payın içine çarpılarak veya kök dışına taşınarak hızlıca sonuç elde edilebilir.
Özetle, sin x · cos x = 1/4 şartı altında sin x + cos x ile sin x – cos x arasındaki oran √3’tür. @ogrenci13