n ın mathbb{N}^+ olmak üzere (2^n dot n) - 1 sayılarına Woodall sayıları denir.
Örnek: n = 4 için (2^4 dot 4) - 1 = 63
Aşağıdakilerden hangisi Woodall sayısıdır?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
Woodall Sayıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{Woodall Sayısı: } W_n = (n \cdot 2^n) - 1 \quad (n \in \mathbb{N}^+)
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
Woodall sayılarını bulmak için pozitif tam sayılar (n = 1, 2, 3, \dots) formülde sırasıyla yerine yazılır:
-
n = 1 için:
W_1 = (1 \cdot 2^1) - 1 = 2 - 1 = 1 -
n = 2 için:
W_2 = (2 \cdot 2^2) - 1 = (2 \cdot 4) - 1 = 8 - 1 = 7 -
n = 3 için:
W_3 = (3 \cdot 2^3) - 1 = (3 \cdot 8) - 1 = 24 - 1 = 23 -
n = 4 için:
W_4 = (4 \cdot 2^4) - 1 = (4 \cdot 16) - 1 = 64 - 1 = 63
Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
- A) 20: n \cdot 2^n - 1 = 20 \implies n \cdot 2^n = 21 (Pozitif tam sayı çözümü yoktur.)
- B) 21: n \cdot 2^n - 1 = 21 \implies n \cdot 2^n = 22 (Pozitif tam sayı çözümü yoktur.)
- C) 22: n \cdot 2^n - 1 = 22 \implies n \cdot 2^n = 23 (Pozitif tam sayı çözümü yoktur.)
- D) 23: n = 3 için (3 \cdot 2^3) - 1 = 23 eşitliğini tam olarak sağlar.
- E) 24: n \cdot 2^n - 1 = 24 \implies n \cdot 2^n = 25 (Pozitif tam sayı çözümü yoktur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — 23
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Özel Tanımlı Sayılar: Matematikte belirli bir cebirsel kurala bağlı olarak üretilen sayılardır. Bu tip sorularda kuraldaki değişken yerine (n \in \{1, 2, 3, \dots\}) küçük tam sayılardan başlayarak değer vermek en hızlı sonuca ulaştırır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: İşlem önceliğini karıştırıp (2 \cdot n)^n - 1 şeklinde hesaplamak.- Doğru Yaklaşım: Önce üslü ifade (2^n) hesaplanır, ardından n katsayısı ile çarpılır ve en son 1 çıkarılır.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?