n bir tam sayı olmak üzere n^4 - 16 sayısının 4 tane pozitif tam böleni varsa n^4 - 16 sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
A) 2
B) 5
C) 13
D) 27
E) 50
Asal Çarpanlar ve Pozitif Tam Bölen Sayısı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir tam sayının pozitif tam bölenleri, sayının işaretine bağlı olmaksızın mutlak değerinin asal çarpanlarına ayrılmasıyla bulunur. A = p_1^{a} \cdot p_2^{b} asal çarpanlara ayrılmış bir sayı olmak üzere, pozitif bölen sayısı \text{PBS} = (a + 1)(b + 1) formülüyle hesaplanır. Bir sayının 4 tane pozitif böleni olması için sayının mutlak değerinin p^3 veya p \cdot q (burada p ve q farklı asal sayılardır) formunda olması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İfadenin Olası Tam Sayı Değerlerini Belirleme
n bir tam sayı olduğundan n^4 \ge 0 olur. A = n^4 - 16 ifadesinde n değişkeni çift kuvvete sahip olduğu için n yerine yazılacak zıt işaretli tam sayılar aynı A değerini üretir. n tam sayısının alabileceği durumları inceleyelim:
- |n| = 0 için: A = 0^4 - 16 = -16
|-16| = 16 = 2^4 \implies \text{PBS} = 4 + 1 = 5 (Sağlamaz) - |n| = 1 için: A = 1^4 - 16 = -15
|-15| = 15 = 3^1 \cdot 5^1 \implies \text{PBS} = (1 + 1)(1 + 1) = 4 (Sağlar) - |n| = 2 için: A = 2^4 - 16 = 0
0 sayısının pozitif bölen sayısı tanımsız/sonsuzdur (Sağlamaz). - |n| = 3 için: A = 3^4 - 16 = 81 - 16 = 65
|65| = 65 = 5^1 \cdot 13^1 \implies \text{PBS} = (1 + 1)(1 + 1) = 4 (Sağlar) - |n| \ge 4 için: A = n^4 - 16 = (n^2 - 4)(n^2 + 4) çarpanlarına ayrıldığında, her iki çarpan da 1’den büyük ve bileşik sayılar ürettiğinden pozitif bölen sayısı daima 4’ten büyük çıkar.
Adım 2 — Farklı Değerlerin Toplanması
Şartı sağlayan n^4 - 16 sayısının alabileceği farklı değerler -15 ve 65’tir.
Bu değerlerin toplamı:
-15 + 65 = 50
CEVAP: E) 50
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Tam sayılarda negatif sayıların da pozitif tam bölenleri tanımlıdır ve mutlak değerleri üzerinden hesaplanır. n^4 - 16 ifadesinin negatif değer alabileceği (n = \pm 1 durumu) gözden kaçırılmamalıdır.