n bir pozitif tam sayı olmak üzere rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının n ile bölümünden kalan, bu sayının tersten yazılmasıyla elde edilen üç basamaklı sayının n ile bölümünden kalan ile aynı ise bu sayılara n-terslenebilir sayılar denir.
a7b üç basamaklı sayısı 24 -terslenebilir bir sayı ise a + b kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Terslenebilir Sayı ve Bölünebilme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki sayının n ile bölümünden kalanlar eşit ise bu iki sayının farkı n ile tam bölünür:x \equiv y \pmod n \iff (x - y) \text{ sayısı } n\text{'nin tam katıdır.}
- Üç basamaklı basamak çözümleme:xyz = 100x + 10y + z
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıları Çözümleme ve Farkını Alma
a7b sayısının tersten yazılışı b7a sayısıdır. Bu iki sayının 24 ile bölümünden kalanlar aynı olduğuna göre, aralarındaki fark 24’ün bir tam katı olmalıdır:
(a7b) - (b7a) = (100a + 70 + b) - (100b + 70 + a)
= 99a - 99b = 99(a - b)
Adım 2 — Bölünebilme Şartını İnceleme
99(a - b) ifadesinin 24’e tam bölünmesi gerekir:
\frac{99(a - b)}{24} = \frac{33(a - b)}{8}
33 ile 8 aralarında asal olduğu için, ifadenin bir tam sayı olabilmesi ancak ve ancak (a - b) farkının 8’in tam katı olmasıyla mümkündür:
8 \mid (a - b)
Adım 3 — Rakam Değerlerini Belirleme
Soruda verilen koşullara göre:
- a ve b sıfırdan farklı birer rakamdır (a, b \in \{1, 2, \dots, 9\}).
- Sayının rakamları birbirinden farklıdır (a \neq b ve a, b \neq 7).
a \neq b olduğundan a - b \neq 0’dır. İki rakam arasındaki farkın 8’in katı olabilmesi için fark ya 8 ya da -8 olmalıdır:
- a - b = 8 \implies a = 9 \text{ ve } b = 1
- a - b = -8 \implies a = 1 \text{ ve } b = 9
Her iki durumda da rakamlar toplamı:
a + b = 9 + 1 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kalan Mantığı (Modüler Aritmetik): İki sayının aynı bölen ile bölümlerinden kalanların eşit olması, farklarının o bölene tam bölünmesi anlamına gelir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 99(a-b) ifadesini doğrudan 24’e eşitlemeye çalışıp a-b farkının sadeleştirme sonrası 8’in katı olması gerektiğini gözden kaçırmak.- Doğru Yaklaşım: 99 ile 24’ü 3 ile sadeleştirerek paydada kalan 8 çarpanının (a - b) tarafından karşılanması gerektiğini fark etmek.
Benzer bir bölünebilme ve basamak analizi sorusu çözerek pekiştirmek ister misin?