Soru:
(A \subseteq B \subseteq C) olmak üzere, (A \times B) ve (B \times C) kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 12 ve 42’dir. Buna göre (A \times C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm:
1. Kümelerin Kartezyen Çarpımı:
Kartezyen çarpımda, iki kümenin eleman sayıları çarpılır:
2. Verilen Bilgiler:
- ( |A \times B| = 12 )
- ( |B \times C| = 42 )
Buradan:
3. ( |B| ) Değerini Bulma:
İki bağıntıyı karşılaştırarak ( |B| )'yi bulabiliriz. İki denklemi bölelim:
Bu ifade, ( |C| )'nin ( |A| )'nın katları olduğunu gösterir.
Ama önce ( |B| )'nin gerçek değerini bulmaya geçiyoruz:
4. Sayılarla Çözümleme:
( |A| \cdot |B| = 12 ) olduğu için, ( |A| ) ve ( |B| )'yi çarpanlara ayırarak çözebiliriz:
Olası değerler:
- ( |A| = 3, |B| = 4 )
- Çünkü (3 \cdot 4 = 12).
( |B| \cdot |C| = 42 ) olduğundan:
Özür dilerim! Yaptığım işlemde bir hata var. Daha dikkatli ilerlemem gerekiyor. Hemen doğru çözümle tekrar başlıyorum.
Sorunun çözümü:
Verilen bilgileri doğru bir şekilde ele alalım:
- ( |A| \cdot |B| = 12 )
- ( |B| \cdot |C| = 42 )
Birinci denklemden ( |B| )'nin değerlerini bulabiliriz.
Doğru Çözüm:
1. Denklemleri Yazalım:
Öncelikle ( |A| ) ve ( |B| )'yi çarpanlarına ayıralım.
( |A| \cdot |B| = 12 ) denkleminden:
Olası değerler:
- ( |A| = 3, |B| = 4 )
Buradan: ( |B| = 4 ).
2. ( |B| \cdot |C| = 42 ):
( |B| = 4 ) olarak bulduk. Şimdi ikinci denklemi kullanarak ( |C| )'yi bulalım:
Fakat bu durumda ( |C| ), tam sayı çıkmadı. 
Bir problem söz konusu olabilir veya eksik bilgi verilmiş olabilir. 
Soruyu yeniden yazmak ya da bir ek bilgiyle kontrol etmek en mantıklı olandır.
Eğer bu soru başka bir bağlamda çözülüyorsa, tekrar yüklenirseniz yardımcı olurum @Muyesser_Aslan!
A ⊆ B ⊆ C olmak üzere, A × B ve B × C kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 12 ve 42’dir. Buna göre A × C kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevap:
Bu tip problemlerde kümelerin eleman sayılarını sırasıyla a, b ve c olarak tanımlayalım (n(A)=a, n(B)=b, n(C)=c). Verilen:
• a ≤ b ≤ c (çünkü A ⊆ B ⊆ C),
• A × B’nin eleman sayısı a × b = 12,
• B × C’nin eleman sayısı b × c = 42.
Aradığımız ifade ise A × C’nin eleman sayısı, yani a × c’dir.
-
a × b = 12 eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı ikilileri (a,b):
• (1, 12)
• (2, 6)
• (3, 4)
• (4, 3) vb. (ancak a ≤ b olmalı ve elde edeceğimiz b değerinin de b × c = 42’yi sağlaması gerekir). -
b × c = 42 eşitliğini sağlayan (b,c) ikilileri:
• (1, 42)
• (2, 21)
• (3, 14)
• (6, 7)
vb. -
A ⊆ B ⊆ C olduğundan a ≤ b ve b ≤ c koşulları geçerlidir. Dolayısıyla (a,b) = (2,6) ve (b,c) = (6,7) ikilileri birleştirildiğinde,
- a = 2,
- b = 6,
- c = 7
koşulları sağlanır. Böylece:
-
Aradığımız a × c = 2 × 7 = 14 bulunur.
Dolayısıyla A × C kümesinin eleman sayısı 14’tür.
2. A ⊂ B ⊂ C olmak üzere, A × B ve B × C kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 12 ve 42’dir. Buna göre A × C kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevap:
İçindekiler
- Sorunun Genel İncelemesi
- Temel Bilgiler ve Tanımlar
- Çözüm Adımları
- Çözümün Özeti
- Özet Tablo
- Kısa Değerlendirme
1. Sorunun Genel İncelemesi
Bu soruda, üç kümeden oluşan bir zincir (A ⊂ B ⊂ C) ve bunların Kartezyen çarpımından elde edilen iki ayrı kümenin eleman sayıları verilmektedir:
- |A × B| = 12
- |B × C| = 42
Soru, |A × C|’yi sormaktadır. Burada A, B ve C’nin eleman sayıları sırasıyla |A|, |B|, |C| olsun. Dolayısıyla:
- |A × B| = |A| · |B| = 12
- |B × C| = |B| · |C| = 42
Bizden istenen:
- |A × C| = |A| · |C| = ?
A ⊂ B ⊂ C ifadesi, |A| < |B| < |C| şeklinde bir büyüklük ilişkisi olduğu anlamına gelir.
2. Temel Bilgiler ve Tanımlar
-
Kartezyen Çarpım (A × B):
A ve B kümelerinin Kartezyen çarpımı, birinci bileşeni A’dan, ikinci bileşeni B’den gelen tüm ikililerin oluşturduğu kümedir. Eleman sayısı |A| · |B| olarak hesaplanır. -
Alt Küme (A ⊂ B):
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise, tüm A elemanları B içerisinde bulunur. Bu durumda |A| ≤ |B|; şıklı soru formatında genellikle |A| < |B| kabul edilir.
3. Çözüm Adımları
3.1. A × B ve B × C Bilgileri
Verilenlere göre:
- |A × B| = |A| · |B| = 12
- |B × C| = |B| · |C| = 42
3.2. Olası |A|, |B|, |C| Değerlerinin Belirlenmesi
|A|, |B|, |C| tamsayıları için şu iki denklem geçerlidir:
- |A| · |B| = 12
- |B| · |C| = 42
Ayrıca |A| < |B| < |C| olması gerekir.
Önce |B|’nin 12’nin ve 42’nin ortak bölenlerinden biri olması gerekiyor, çünkü |A| = 12/|B| ve |C| = 42/|B| tamsayı çıkmalıdır.
12’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
42’nin bölenleri: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Her ikisinin de ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6
Şimdi |B| olarak bu değerleri sırayla deneyelim ve sonucu |A| < |B| < |C| koşuluna göre değerlendirelim:
-
|B| = 1
- |A| = 12 / 1 = 12
- |C| = 42 / 1 = 42
- Bu durumda |A| = 12, |B| = 1, |C| = 42 olur. Fakat |A| < |B| koşulu 12 < 1 doğru olmadığı için geçersiz.
-
|B| = 2
- |A| = 12 / 2 = 6
- |C| = 42 / 2 = 21
- Sıra 6, 2, 21 olur ki 6 < 2 (|A| < |B|) sağlanmıyor. Geçersiz.
-
|B| = 3
- |A| = 12 / 3 = 4
- |C| = 42 / 3 = 14
- 4 < 3 koşulu uymadığı için geçersiz.
-
|B| = 6
- |A| = 12 / 6 = 2
- |C| = 42 / 6 = 7
- Şimdi 2 < 6 < 7 olduğu görülür. Bu tüm koşulları sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Böylece:
- |A| = 2
- |B| = 6
- |C| = 7
koşullarını sağlayan tek mantıklı sayı üçlüsünü elde ediyoruz.
3.3. A × C Eleman Sayısının Hesaplanması
Artık |A| = 2 ve |C| = 7 olduğuna göre,
Böylece soru: “A × C kümesinin eleman sayısı nedir?” yanıtı 14 olarak bulunur.
4. Çözümün Özeti
- |A × B| = 12 ⇒ |A|·|B| = 12
- |B × C| = 42 ⇒ |B|·|C| = 42
- A ⊂ B ⊂ C ⇒ |A| < |B| < |C|
Tüm koşulları sağlayan uygun tamsayı değerler |A| = 2, |B| = 6, |C| = 7’dir. Bu durumda:
5. Özet Tablo
| Küme | Eleman Sayısı | Açıklama |
|---|---|---|
| A | 2 | |
| B | 6 | A < B < C şartından B = 6 uygun çıktı |
| C | 7 | |
| A × C | 14 | 2 × 7 = 14 |
6. Kısa Değerlendirme
Bu tür sorularda önemli olan, Kartezyen çarpımın eleman sayısının çarpanların (kümelerin) eleman sayılarının çarpımı olduğunu hatırlamaktır. Ayrıca A ⊂ B ⊂ C koşulu (dolayısıyla |A| < |B| < |C|) sayılar arası mantıklı bir hiyerarşi oluşturur ve doğru çifti (hatta üçlüyü) bulmamızı kolaylaştırır.
Doğru cevap: 14.