Murat bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilir?

YKS TYT
1

17686661865089204570813177071271
17686661865089204570813177071271720×960 20.3 KB

2

Verilen Problemin Analizi ve Çözümü

Önemli Noktalar

  • 5 pantolon var: 3 lacivert (özdeş), 1 yeşil, 1 siyah
  • 3 farklı askıya her askıya 1 pantolon asılacak
  • Aynı renk lacivert pantolonlar özdeş yani yer değiştirmeleri fark yaratmaz
  • Yeşil ve siyah pantolonlar farklı olduğundan yer değiştirmeleri farklı sayılır

Sorunun Tanımı

Murat, 3 askıya 5 pantolondan 3’ünü asacak. 3 pantolon lacivert ise birbirinden ayırt edilemez (özdeş), ayrıca yeşil ve siyah pantolonlar farklıdır. 3 askıya 3 pantolon asarken kaç farklı şekilde asabileceğini bulmamız isteniyor.

1. Pantolon Seçimi

Murat 5 pantolondan 3’ünü seçerek başlayacak.

Pantolonlar:

  • 3 özdeş lacivert (L, L, L)
  • 1 yeşil (Y)
  • 1 siyah (S)

Seçilebilecek üçlü kombinasyonlar aşağıdaki gibidir:

  • (L, L, L) — hepsi lacivert
  • (L, L, Y)
  • (L, L, S)
  • (L, Y, S)
  • (Y, S, L) — aslında (L, Y, S) ile aynı çünkü sadece bu ikon sayılır
  • (L, Y, Y) mümkün değil, 1 yeşil var
  • (L, S, S) mümkün değil, 1 siyah var

Yani mümkün üçlüler:

  1. (L, L, L)
  2. (L, L, Y)
  3. (L, L, S)
  4. (L, Y, S)

2. Seçilen Pantolonların Askıya Asılma Sayısı

Her seçimi farklı farklı askılara asacağız. Askılar farklı, yerleşim önemlidir.

Örnek:

  • 3 askı var: A1, A2, A3
  • Seçilen pantolon sayısı = 3, her askıya 1 pantolon asılıyor.

3. Her Durumu Ayrı Hesaplayalım

  1. (L, L, L)
    3 özdeş pantolon var ve 3 askıya asılıyor.
    Özdeş oldukları için asılışın tek bir şekli vardır.
    Farklı diziliş sayısı = 1
  1. (L, L, Y)
    2 özdeş lacivert ve 1 farklı yeşil pantolon var.
    Askılar farklı, farklı dizilim sayısı:
    Toplam permütasyonları: 3! = 6
    Ama lacivertler özdeş olduğundan permütasyonların sayısı:
\frac{3!}{2!} = 3

Farklı diziliş sayısı = 3

  1. (L, L, S)
    Benzer şekilde 2 lacivert özdeş, 1 siyah farklı.
    Farklı diziliş sayısı yine:
\frac{3!}{2!} = 3
  1. (L, Y, S)
    3 farklı pantolon (lacivert, yeşil, siyah)

Farklı diziliş sayısı: 3! = 6

4. Toplam Farklı Asma Şekli

Her durumda farklı kombinasyonlardan farklı dizilişler olacak ama bu durumların kendilerinin farklı olması gerekir. Yani önce hangi pantolon üçlüsünü asacağını seçmeli.

Kaç farklı pantolon üçlüsü var?

Yukarıda 4 farklı üçlü kombinasyon var.

Bunlar:

Kombinasyon Farklı Diziliş Sayısı
(L, L, L) 1
(L, L, Y) 3
(L, L, S) 3
(L, Y, S) 6

Toplam farklı asma şekli sayısı:

1 + 3 + 3 + 6 = 13

Sonuç:

Murat bu işlemi 13 farklı şekilde yapabilir.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi
  2. Seçeneklerin Hesaplanması
  3. Toplam Sonuç
  4. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi

Murat’ın 3 lacivert, 1 yeşil, 1 siyah olmak üzere 5 pantolonu var. 3 farklı askıya her birine 1 pantolon gelecek şekilde asacak. Lacivertler özdeş olduğu için fark yaratmazlar. Ama yeşil ve siyah pantolonun yer değiştirmesi farklıdır. Amacımız kaç farklı şekilde asabileceğini bulmak.

:light_bulb: Pro Tip: Özdeş nesneler için permütasyon sayısı hesaplarken, özdeş olanların faktöriyel sayısını bölmeyi unutmayın.

Seçeneklerin Hesaplanması

Pantolonlardan hangi kombinasyonları seçebileceğimizi belirleyip, her durumda farklı diziliş sayısını hesapladık.

Kombinasyon Açıklama Permütasyon Sayısı
(L,L,L) Hepsi aynı, farklı dizilim yok 1
(L,L,Y) 2 özdeş lacivert, 1 farklı yeşil 3
(L,L,S) 2 özdeş lacivert, 1 farklı siyah 3
(L,Y,S) 3 farklı pantolon 6

Toplam Sonuç

Bütün durumlar toplandığında:
1 + 3 + 3 + 6 = 13 farklı şekilde askıya pantolon asabilir.

Cevap: C) 13

Sık Sorulan Sorular

1. Özdeş pantolonlar nasıl ayırt edilir?
Özdeş pantolonlar arasında fark yoktur, yer değiştirmeleri farklı sayılmaz.

2. Askılar farklı mı, yoksa aynı mı?
Askılar farklıdır, her askıya farklı bir pantolon asmak sıralı bir işlemdir.

3. Başka pantolonlar olsaydı hesaplama değişir miydi?
Evet, pantolonların farklılığı ve sayısı permütasyonları doğrudan etkiler.

Sonraki Adımlar

İsterseniz benzer bir soruyla permütasyon kombinasyon problemlerinde farklı özdeşlik ve farklıklılık durumlarını içeren problemlerin çözümlerini öğrenebiliriz. İlgilenir misiniz?

@Jelly

3

Murat bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilir?

  • 3 adet özdeş mavi pantolon, 1 adet yeşil ve 1 adet siyah pantolon
  • 3 farklı askı, her bir askıya tam 1 pantolon asılacak
  • Aynı renkteki pantolonlar özdeş kabul edilecek

Murat bu işlemi 13 farklı şekilde yapabilir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Durumların Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Çözüm Adımları

Mavi pantolonları B, yeşili G, siyahı K olarak işaretleyelim. Üç askıya sıra önemli olduğu için “permutasyon” hesaplayacağız. Durumları ayıralım:

  1. 3 mavi pantolon
    Tüm pantolonlar özdeş olduğundan tek sıra:

    \frac{3!}{3!} = 1

  2. 2 mavi + 1 renkli pantolon

    • Seçilebilecek renkler: G veya K (2 olasılık)
    • Her biri için düzenleme sayısı:
      \frac{3!}{2!} = 3

    Toplam: 2 \times 3 = 6

  3. 1 mavi + 2 renkli pantolon
    Yeşil ve siyahı da asıyoruz: hepsi farklı, düzenleme sayısı:

    3! = 6

Toplam sayılar:

1 + 6 + 6 = 13

2. Durumların Karşılaştırması

Durum Seçim Türü Permütasyon Sayısı
3 mavi pantolon \{B,B,B\} 1
2 mavi + 1 renkli pantolon \{B,B,G\} veya \{B,B,K\} 2\times3=6
1 mavi + 2 renkli pantolon \{B,G,K\} 6

3. Özet Tablosu

Durum Formül Adet
3 mavi \dfrac{3!}{3!} 1
2 mavi + 1 renkli 2\;\times\;\dfrac{3!}{2!} 6
1 mavi + 2 renkli 3! 6
Toplam 13

4. SSS

S1. Özdeş pantolonlarla nasıl uğraşıyoruz?
C. Aynı renkteki pantolonlar ayırt edilemediği için permütasyon formülündeki tekrarlı faktöriyellerle bölüyoruz.

S2. Neden 3! kullanıyoruz?
C. Üç farklı nesnenin üç farklı askıya asılış sırası sayısı $3!$’dir.

S3. Renkli pantolonlar için neden ayrı durum sayıyoruz?
C. Yeşil ve siyah pantolon birbirinden farklı olduğu için her biri ayrı seçim ve permütasyon getirir.

S4. Askıların önemi nasıl hesaba katılıyor?
C. Askılar farklı kabul edildiği için hangi pantolonun hangi askıya gittiği sıra oluşturur.

Bu çözümü pekiştirmek için farklı sayıda askı veya pantolon içeren benzer bir soruyu çözmek ister misin? @Jelly