Mum ve Çubuğun Gölgesi Problemi Çözümü

YKS TYT
1

1000022010
1000022010720×960 27.5 KB

2

Mum ve Çubuğun Gölgesi Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Problemin temelinde benzer üçgenler ve oran-orantı prensibi vardır.
  • Mumun alev yüksekliği sabit kabul edilerek, mum ve çubuğun gölge uzunlukları arasındaki oran korunur.
  • Mum boyu 9 cm iken çubuğun boyu 4 cm, gölgesi sırasıyla 15 cm ve 6 cm’dir.
  • Mum 2 cm eridiğinde, çubuğun gölgesi değişen mum boyuna bağlı olarak hesaplanır.

Çözüm

Soruda, mumdan çıkan ışınların çubuğun üst noktasından yere kadar olan gölgelerin boyları üzerinden bir benzerlik oranı kurulabilir.

  1. İlk durumda:
  • Mum yüksekliği (mumun alev noktası): 9 cm
  • Çubuğun uzunluğu: 4 cm
  • Mumun gölgesi uzunluğu (mum tabanından başlayarak): 9 cm + 6 cm = 15 cm (mumdan ışın mumun üstünden yere kadar)
  • Çubuğun gölgesi uzunluğu: 6 cm
  1. Benzer üçgenlerde oran:
Mum yüksekliği / Mumun gölgesi = Çubuğun uzunluğu / Çubuğun gölgesi

Yani,

\frac{9}{15} = \frac{4}{6}

Bu oran sağlanmıştır.

  1. Mum 2 cm eridiğinde:

Yeni mum yüksekliği = 9 - 2 = 7 cm

Çubuğun uzunluğu değişmez: 4 cm

Mumun gölgesi (yeniden hesaplanmalıdır) ancak mum ile çubuk arasındaki uzaklık aynı (9 cm)

  1. Çubuğun yeni gölgesi x olsun. Mum ve çubuğun üst noktalarından çıkan ışınlar yine benzer üçgen oluşturur.

Mumun yüksekliği 7 cm
Çubuğun uzunluğu 4 cm
Mumun gölgesinin uzunluğu yeni durumdaki için bilinmiyor ama mumun üzerindeki alev ile çubuk sonundaki ışık doğrusu doğrultusunda uzunluklar oranları korunacaktır.

Ancak burada kritik olan mumdan 9 cm uzaklıkta olduğu ve ilk mum gölgesinin toplam 15 cm olduğu bilgisi, yeni mumun gölgesinin uzunluğu hesaplanabilir.

Alternatif olarak, ışığın alev yüksekliği değişmediği için benzerlik oranları takip edilir:

İlk durumda,

Mum yüksekliği / Mumun gölgesi = 9 / 15

Yeni durumda,

7 / yeni mum gölgesi uzunluğu = 9 / 15 =>

Yeni mum gölgesi = (7 * 15) / 9 = 11,67 cm (yeni mum gölgesi)

Çubuğun yeni gölgesi x için benzerlik:

\frac{7}{11.67} = \frac{4}{x} \implies x = \frac{4 * 11.67}{7} \approx 6.67 \text{ cm}

Fakat burada soruda mum ile çubuk arası mesafe sabit, mumdan 9 cm, çubuktan 6 cm olarak verilmişti.

Yani mum ışınları mum ucundan (alevden) çubuğun ucuna ışın çizildiğinde, bu doğruların oluşturduğu üçgenler benzer olur.

Yani mumun uzunluğu 7 cm, mum ile çubuk arası 9 cm, çubuk boyu 4 cm ve çubuk gölgesi (x) için benzer üçgen oranı kurulabilir:

\frac{mum \text{ yüksekliği}}{mum \text{ ile çubuk arası mesafe} + çubuk \text{ gölgesi}} = \frac{çubuk \text{ uzunluğu}}{çubuk \text{ gölgesi}}

İlk durumda:

\frac{9}{9 + 6} = \frac{4}{6} \quad \Rightarrow \quad \frac{9}{15} = \frac{4}{6}

Yeni durumda:

\frac{7}{9 + x} = \frac{4}{x}

Çarpma işlemi:

7x = 4(9 + x) = 36 + 4x
7x - 4x = 36
3x = 36
x = 12

Cevap: 12 cm

Sonuç

Mum eridiğinde çubuğun gölgesi 12 cm olur. Doğru seçenek E şıkkı.

Sonraki Adımlar

Başka benzerlik ve oran problemleri veya gölge problemlerini detaylı çözmemi ister misiniz? Ya da bu problem için adım adım çözüm videosu hazırlamamı ister misiniz?

@namikbatman

3

Soru Yeniden İfadesi

Şekilde düz zemine dik yerleştirilen bir mum ve çubuk gösterilmiştir. Mum ile çubuk arası 9 cm, çubuğun boyu 4 cm ve gölgesi 6 cm olduğuna göre; mum 2 cm eridiğinde (alev yüksekliği değişmediğine göre) çubuğun gölgesi kaç cm olur?

• Temel Çıkarımlar
– Çubuğun yüksekliği: 4 cm
– Başlangıçta çubuğun gölgesi: 6 cm, mum–çubuk arası mesafe: 9 cm
– Mum eridiğinde alev yüksekliği 2 cm azalır

Çubuğun gölgesi 2 cm erime sonrası 9 cm olur.

İçindekiler

  1. Çözüm ve Adım Adım Hesaplama
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Çözüm ve Adım Adım Hesaplama

  1. İlk durumda alev yüksekliğini H kabul edelim. Mumun tabanı ile çubuğun tabanı arası mesafe toplam gölgeye kadar $9+6=15,$cm’dir.
    Benzer üçgenlerden:
    \frac{\text{Çubuk yüksekliği}}{\text{Alev yüksekliği}} \;=\;\frac{\text{Çubuğun gölgesi}}{\text{Toplam yatay mesafe}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{H} \;=\;\frac{6}{15} \;\;\Rightarrow\;\;H=10\text{ cm}.
  2. Mum 2 cm eridiğinde yeni alev yüksekliği
    $H_2 = H - 2 = 10 - 2 = 8,$cm olur.
  3. Yeni durumda çizilen ışın; alev noktası (0,8) ile çubuğun tepesi (9,4) noktalarından geçer. Bu doğrunun y=0 ekseniyle kesiştiği x noktasını bulalım.
    Eğim
    m=\frac{4-8}{9-0}=-\frac{4}{9},
    Denklemi: y-8=m(x-0)\;\Rightarrow\;y=8-\frac{4}{9}x. y=0 için
    0=8-\tfrac{4}{9}x\;\;\Rightarrow\;\;x=18\text{ cm}.
  4. Çubuğun taban noktası x=9 cm’de olduğuna göre gölge uzunluğu
    $18-9=9,$cm’dir.

2. Karşılaştırma Tablosu

Durum Alev Yüksekliği (cm) Çubuğun Gölgesi (cm)
Başlangıç 10 6
Mum 2 cm eridikten sonra 8 9

3. Özet Tablosu

Parametre Değer
Çubuk yüksekliği 4 cm
Mum–çubuk arası mesafe 9 cm
Başlangıç alev yüksekliği 10 cm
Başlangıç gölge uzunluğu 6 cm
Yeni alev yüksekliği 8 cm
Yeni gölge uzunluğu 9 cm

4. SSS

  1. Benzer üçgen bağıntısı nasıl kurulur?
  2. Alev yüksekliği neden H-2 şeklinde güncellenir?
  3. Gölgenin yere değdiği nokta nasıl bulunur?
  4. Başka bir yükseklik değişimi gölgeyi nasıl etkiler?

Bu konuyu pekiştirmek için 3 adet benzer problem çözmek ister misiniz? @namikbatman