Soruyu Detaylı Çözüm:
Soruda, sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapan bir cismin periyodu üzerinden, 10 saniye sonraki uzanım bulunması isteniyor. Şekle ve verilen bilgilere göre soruyu çözebiliriz.
Verilenler:
- Periyot (T) = 16 saniye
- Denge noktası = Orta nokta, genlik başlangıcı + veya - yöndeki maksimum uzanıma eşittir.
- Genlik (A) = 30 cm (çünkü şekilden ±30 cm olduğu görülüyor).
- Zaman (t) = 10 saniye
Basit Harmonik Hareket Denklemi
Basit harmonik hareket uzanım (x) şu formülle hesaplanır:
$
x(t) = A \cdot \cos\left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right)
$
Terimleri Açıkla:
- A: Genlik (30 cm).
- \frac{2\pi}{T}: Açısal frekans (dönemin içindeki hareket hızı \omega).
- t: Zaman (10 saniye).
Adım 1: Açısal Frekansı Hesapla
Dönemin dönme hızını açıya çeviren açısal frekans (\omega):
$
\omega = \frac{2\pi}{T}
$
Yerine koyarak hesaplayalım:
$
\omega = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ \text{(rad/s)}
$
Adım 2: Uzanımı Hesaplayın
Şimdi, x(t) uzanım formülünü yazıyoruz:
$
x(10) = A \cdot \cos\left(\omega \cdot t\right)
$
Yerine tüm değerleri koyarak hesaplayalım:
$
x(10) = 30 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8} \cdot 10\right)
$
Hesaba devam edelim:
$
x(10) = 30 \cdot \cos\left(\frac{10\pi}{8}\right)
$
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
$
x(10) = 30 \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)
$
Kosinüs Açısını Bul
\frac{5\pi}{4} radyan, kosinüs cetveline göre 0 ile -1 arasında olan bir açıya denk gelir. Kosinüs değeri:
$
\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}
$
Şimdi uzanımı hesaplayalım:
$
x(10) = 30 \cdot - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{30}{\sqrt{2}} \approx -21.21 \ \text{cm}
$
Sonuç:
Basit harmonik hareket yapan cismin 10 saniye sonraki uzanımı yaklaşık -21.21 cm’dir (denge noktasının solunda).
Özet Tablo
| Veri | Değer |
|---|---|
| Periyot (T) | 16 saniye |
| Genlik (A) | 30 cm |
| Zaman (t) | 10 saniye |
| Açısal frekans (\omega) | \frac{\pi}{8} |
| Uzanım (x) | -21.21 cm |
Bu temel çözüm yoluyla sorunun dinamiği kolayca anlaşılabilir. Eğer ekstra açıklama veya alternatif çözüm isterseniz, lütfen sormaktan çekinmeyin!
Sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapan bir cismin periyodu 16 saniye ise, hareketin başlangıçta denge noktasından pozitif yönde geçtiği durumda 10. saniyedeki konumunu (uzanımını) nasıl hesaplarız?
Cevap:
İçindekiler
-
- Temel Denklemler ve Parametreler
- Hareket Denkleminin Belirlenmesi
- Periyot ve Açısal Frekans İlişkisi
- 10. Saniyedeki Konumun Hesaplanması
- Adım Adım Sonuç Tablosu
- Kısa Özet
1. Basit Harmonik Hareketin Genel Tanımı
Basit harmonik hareket (BHH), bir cismin denge konumundan belirli bir genlikte (salınım genişliğinde) ve sabit bir periyotla ileri-geri titreştiği ideal bir harekettir. Bu hareket sırasında cisim, Hooke Kanunu gibi doğrusal bir geri çağırıcı kuvvetin etkisi altındadır.
2. Temel Denklemler ve Parametreler
Bir boyutta basit harmonik hareket yapan cismin konum denklemi genel olarak şu şekilde yazılabilir:
$
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
$
veya
$
x(t) = A \sin(\omega t + \phi)
$
- A: Genlik (maksimum uzanım veya salınım genişliği)
- \omega: Açısal frekans (radyan/saniye)
- \phi: Faz sabiti (başlangıç koşullarına göre belirlenir)
- t: Zaman (saniye cinsinden)
- x(t): Denge noktasına göre konum (metre veya santimetre cinsinden)
3. Hareket Denkleminin Belirlenmesi
Soruya göre cisim başlangıçta ( t=0 ) denge noktasından geçmektedir ve pozitif yönde hareket etmektedir. Bu başlangıç koşulu çoğu zaman,
$
x(0) = 0 \quad \text{ve} \quad \frac{dx}{dt}\Big|_{t=0} > 0
$
olduğu anlamına gelir. Bu şartlar genellikle:
$
x(t) = A \sin(\omega t)
$
biçiminde bir denklemle uyumludur (faz sabiti \phi = 0 şeklinde).
4. Periyot ve Açısal Frekans İlişkisi
Basit harmonik hareketin periyodu T ile açısal frekansı \omega arasındaki bağıntı:
$
\omega = \frac{2\pi}{T}
$
Verilen periyot:
T = 16 \text{ s}
Dolayısıyla,
$
\omega = \frac{2 \pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ (\text{radyan/saniye})
$
5. 10. Saniyedeki Konumun Hesaplanması
Soru metninde genlik belirtilmişse (örneğin 30 cm), devinimin genliği A = 30 \text{ cm} olarak alınır. Hareket denklemini bu bilgilere göre yazalım:
$
x(t) = 30 \ \sin!\Bigl(\frac{\pi}{8} t\Bigr)
$
Aradığımız değer, t = 10 \text{ s} anındaki konumdur:
$
x(10) = 30 \ \sin!\Bigl(\frac{\pi}{8} \times 10\Bigr)
= 30 \ \sin!\Bigl(\frac{10 \pi}{8}\Bigr)
= 30 \ \sin!\Bigl(\frac{5 \pi}{4}\Bigr)
$
$
\sin!\Bigl(\frac{5 \pi}{4}\Bigr) = \sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707
$
Dolayısıyla,
$
x(10) = 30 \times (-0.707) \approx -21.21 \text{ cm}
$
Bu sonuç bize cismin denge noktasının yaklaşık 21.21 cm solunda (negatif yönde) olduğunu gösterir.
6. Adım Adım Sonuç Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Periyot (T) | 16 s olarak veriliyor | – |
| 2. Açısal Frekans (ω) | \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} | \omega = \frac{\pi}{8} |
| 3. Hareket Denklemi | Başlangıç koşullarına göre x(t) = A \sin(\omega t) | x(t) = 30 \sin\Bigl(\frac{\pi}{8} t\Bigr) |
| 4. 10. Saniyedeki Konum (x(10)) | x(10) = 30 \sin\Bigl(\frac{\pi}{8} \times 10\Bigr) | 30 \sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}\Bigr) |
| 5. Sayısal Değerin Bulunması | \sin\!\Bigl(\frac{5\pi}{4}\Bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2} | -21.21 \text{ cm (yaklaşık)} |
| 6. Yorumlama | Sonuç negatif => Denge noktasının solunda 21.21 cm | – |
7. Kısa Özet
Basit harmonik hareketle ilgili temel denklem üzerinden peryot T = 16 s değerini kullanarak açısal frekansı \omega = \pi/8 buluyoruz. Hareketin başlangıçta denge noktasından pozitif yönde geçtiği kabulüyle x(t) = A \sin(\omega t) formülü uygundur. Amplitüdün (genliğin) 30 cm olduğu varsayımıyla 10. saniyedeki konum:
$
x(10) = 30 \ \sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}\Bigr) \approx -21.21 \text{ cm}
$
Bulunan değer, cismin 10. saniyede denge noktasının 21.21 cm solunda olduğunu gösterir.