Sayıların a \cdot 10^b biçimindeki bilimsel gösteriminde a sayısını sabit tutarak b sayısını değiştiriniz ya da b sayısını sabit tutarak a sayısını değiştiriniz ve elde ettiğiniz sayıların sıralamasının nasıl yapılacağını değerlendiriniz.
Cevap:
Bilimsel gösterimde bir sayı genellikle şu şekilde yazılır:
a \cdot 10^b
Burada:
- a: 1 ile 10 arasında (1 dahil, 10 hariç) bir sayı,
- b: tam sayı (üs).
1. a sayısını sabit tutup b sayısını değiştirmek
- a sabitken, b sayısı büyüdükçe sayı büyür.
- Çünkü 10^b ifadesi b arttıkça 10’un kuvveti artar ve sayı büyür.
- Örneğin: 3 \cdot 10^2 = 300 ve 3 \cdot 10^3 = 3000 → 3 \cdot 10^3 > 3 \cdot 10^2.
Sonuç:
a sabitken, b sayısı arttıkça sayı büyür, b azaldıkça sayı küçülür.
2. b sayısını sabit tutup a sayısını değiştirmek
- b sabitken, a sayısı büyüdükçe sayı büyür.
- Çünkü a çarpan olarak sayı üzerinde doğrudan etkilidir.
- Örneğin: 2 \cdot 10^3 = 2000 ve 5 \cdot 10^3 = 5000 → 5 \cdot 10^3 > 2 \cdot 10^3.
Sonuç:
b sabitken, a sayısı arttıkça sayı büyür, a azaldıkça sayı küçülür.
3. Sayıların sıralanması nasıl yapılır?
Bilimsel gösterimde sayıların büyüklüğünü karşılaştırmak için:
| Adım | Açıklama |
|---|---|
| 1 | Önce üsleri (b) karşılaştırın. Üsü büyük olan sayı daha büyüktür. |
| 2 | Eğer üsler eşitse, o zaman a katsayılarını karşılaştırın. a büyük olan sayı daha büyüktür. |
Örneklerle açıklama
| Sayı | a | b | Değer | Sıralama |
|---|---|---|---|---|
| 4 \cdot 10^3 | 4 | 3 | 4000 | 2. |
| 3 \cdot 10^4 | 3 | 4 | 30000 | 1. |
| 5 \cdot 10^3 | 5 | 3 | 5000 | 3. |
- Üsleri karşılaştır: 10^4 > 10^3 → 3 \cdot 10^4 en büyük.
- Üsler eşit olanlar (4 \cdot 10^3 ve 5 \cdot 10^3) arasında a karşılaştırılır: 5 > 4 → 5 \cdot 10^3 > 4 \cdot 10^3.
Özet Tablosu
| Durum | Sabit Tutulan Değişken | Değişen Değişken | Sayı Üzerindeki Etkisi | Sıralama Kriteri |
|---|---|---|---|---|
| 1 | a | b | b arttıkça sayı büyür | Önce b karşılaştırılır |
| 2 | b | a | a arttıkça sayı büyür | b eşitse a karşılaştırılır |
Sonuç
- Bilimsel gösterimde sayıların büyüklüğünü karşılaştırırken öncelikle üsler (b) karşılaştırılır.
- Üsler eşitse, a katsayıları karşılaştırılır.
- a sabitken b arttıkça sayı büyür.
- b sabitken a arttıkça sayı büyür.
Bu yöntemle sayıları kolayca sıralayabilirsiniz.
Soru:
Sayıların a\cdot10^b biçimindeki bilimsel gösteriminde
- a sabit, b değiştirildiğinde elde edilen sayıların nasıl sıralanacağını,
- b sabit, a değiştirildiğinde elde edilen sayıların nasıl sıralanacağını
değerlendiriniz.
1. Temel Kavramlar
- Bir sayı a\cdot10^b ile yazıldığında
- a değerine “katsayı” (genellikle 1\le a<10 aralığında),
- b değerine “üs” (tamsayı) denir.
- Sayının değeri:
\text{Sayı} = a \times 10^b
olduğundan hem $a$’nın hem de $b$’nin büyümesi, sayıyı büyütür.
2. a Sabit, b Değiştiğinde Sıralama
a aynı kaldığı sürece sayının büyüklüğü tamamen 10^b kısmına bağlıdır.
- Üs b ne kadar büyükse, 10^b o kadar büyük olur ve sonuçtaki sayı da o kadar büyür.
- Örnek: a=3 sabit alalım.
b değeri Sayı Sayının değeri b=1 3\cdot10^1 30 b=2 3\cdot10^2 300 b=3 3\cdot10^3 3000 b=4 3\cdot10^4 30000 - Sıralama (küçükten büyüğe):
3\cdot10^1 < 3\cdot10^2 < 3\cdot10^3 < 3\cdot10^4
Sonuç: a sabitken; üs b arttıkça sayı büyür, dolayısıyla üslere göre artan sıraya göre sıralanır.
3. b Sabit, a Değiştiğinde Sıralama
b sabit olduğunda, sayı doğrudan a katsayısına orantılıdır.
- Katsayı a ne kadar büyükse, a\cdot10^b de o kadar büyüktür.
- Örnek: b=2 sabit alalım.
a değeri Sayı Sayının değeri a=1{,}2 1{,}2\cdot10^2 120 a=3{,}5 3{,}5\cdot10^2 350 a=7{,}8 7{,}8\cdot10^2 780 a=9{,}1 9{,}1\cdot10^2 910 - Sıralama (küçükten büyüğe):
1{,}2\cdot10^2 < 3{,}5\cdot10^2 < 7{,}8\cdot10^2 < 9{,}1\cdot10^2
Sonuç: b sabitken; katsayı a arttıkça sayı büyür, dolayısıyla katsayılara göre artan sıraya göre sıralanır.
4. Genel Karşılaştırma Kuralı
Elimizde iki sayı olsun:
Bunları karşılaştırmak için:
- Önce üsleri (b_1, b_2) karşılaştırırız:
- Eğer b_1>b_2 ise, $x>y$’dir (üs büyükse sayı büyük).
- Eğer b_1<b_2 ise, $x<y$’dir.
- Üsler eşitse (b_1=b_2), o zaman katsayıları (a_1, a_2) karşılaştırırız:
- a_1>a_2\;\Longrightarrow\;x>y
- a_1<a_2\;\Longrightarrow\;x<y
5. Özet Tablo
| Durum | Sabit Tutulan Değer | Değişen Değer | Sıralama Ölçütü |
|---|---|---|---|
| Üs değişiyor, katsayı sabit | a sabit | b | Büyükten küçüğe: üslere göre |
| Katsayı değişiyor, üs sabit | b sabit | a | Büyükten küçüğe: katsayıya göre |
| Genel karşılaştırma | – | – | 1) Önce üslere bak, 2) eşitse katsayıya bak |
Sonuç:
- a sabit ise sıralama üslere ($b$’lere) göre yapılır.
- b sabit ise sıralama katsayılara ($a$’lara) göre yapılır.
- İki sayı karşılaştırılırken önce üs, üsler eşitse katsayı dikkate alınır. @anonim122
Soru 3 için Cevap
Aşağıdaki üç ifadeden bilimsel gösterim tanımına (1≤ a < 10 olacak şekilde (a\cdot10^b)) uygun olanı belirleyelim:
-
(20,000\cdot10^{-1})
- Burada katsayı (a=20,000). Ancak 20 000∉[1,10) olduğu için geçersiz.
-
(2\cdot10^{3})
- Burada katsayı (a=2) ve (2\in[1,10)). Üs tam sayı. Geçerli bilimsel gösterim.
-
(0{,}2\cdot10^{4})
- Burada katsayı (a=0{,}2). Ancak 0{,}2<1 olduğu için geçersiz.
Sonuç:
Yalnızca (2\cdot10^3) ifadesi bilimsel gösterime uygundur ve yuvarlak içine alınmalıdır.
3. Aşağıda bir sayının farklı gösterimlerini görmektesiniz. Bilimsel gösterim ile yazılmış ifadeleri yuvarlak içine alınız.
Cevap:
Bilimsel gösterim, sayının a \cdot 10^b biçiminde yazılmasıdır. Burada:
- a katsayısı 1 ile 10 arasında (1 dahil, 10 hariç) bir sayı olmalıdır.
- b ise tam sayı (üs) olmalıdır.
Verilen ifadeler:
- 20000 \cdot 10^{-1}
- 2 \cdot 10^3
- 0,2 \cdot 10^4
İfadelerin değerlendirilmesi:
| İfade | Katsayı a | Üs b | Bilimsel Gösterim Şartı Sağlanıyor mu? | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| 20000 \cdot 10^{-1} | 20000 | -1 | Hayır | Katsayı 1 ile 10 arasında değil. |
| 2 \cdot 10^3 | 2 | 3 | Evet | Katsayı 1 ile 10 arasında, üs tam sayı. |
| 0,2 \cdot 10^4 | 0,2 | 4 | Hayır | Katsayı 1 ile 10 arasında değil (0,2 < 1). |
Bilimsel gösterim biçimine uygun olan ifade:
- 2 \cdot 10^3
İfadelerin bilimsel gösterime dönüştürülmesi:
- 20000 \cdot 10^{-1} ifadesini bilimsel gösterime çevirelim:
20000 = 2 \times 10^4
O halde:
20000 \cdot 10^{-1} = (2 \times 10^4) \times 10^{-1} = 2 \times 10^{4 - 1} = 2 \times 10^{3}
Bu ifade zaten bilimsel gösterim biçiminde yazılmıştır.
- 0,2 \cdot 10^4 ifadesini bilimsel gösterime çevirelim:
0,2 = 2 \times 10^{-1}
O halde:
0,2 \cdot 10^4 = (2 \times 10^{-1}) \times 10^4 = 2 \times 10^{4 - 1} = 2 \times 10^{3}
Yani bu ifade de bilimsel gösterim biçimine dönüştürülebilir.
Sonuç:
- İlk ifade 20000 \cdot 10^{-1},
- İkinci ifade 2 \cdot 10^3,
- Üçüncü ifade 0,2 \cdot 10^4
hepsi aslında aynı sayıyı temsil eder: 2 \times 10^3.
Bilimsel gösterim olarak yazılması gereken biçim ise 2 \cdot 10^3 şeklindedir.
Özet Tablosu
| İfade | Bilimsel Gösterim mi? | Bilimsel Gösterim Hali |
|---|---|---|
| 20000 \cdot 10^{-1} | Hayır | 2 \cdot 10^3 |
| 2 \cdot 10^3 | Evet | 2 \cdot 10^3 |
| 0,2 \cdot 10^4 | Hayır | 2 \cdot 10^3 |
Sonuç olarak:
- Bilimsel gösterim için katsayı a mutlaka 1 ile 10 arasında olmalıdır.
- Verilen ifadelerden sadece 2 \cdot 10^3 ifadesi doğrudan bilimsel gösterimdir.
- Diğer ifadeler uygun şekilde dönüştürülerek bilimsel gösterim haline getirilmelidir.