- Altı tekerlekli tr, dört tekerlekli otomobil ve iki tekerlekli
motosikletlerin bulunduğu bir park alanındaki bu araçlar
ile ilgili,
Tüm araçların tekerlek sayılarının toplamı 84’tür.
Motosikletlerin sayısı, tırların sayisindan fazladır.
bilgileri veriliyor.
Buna göre bu park alanında en fazla kaç otomobil
vardır?
A) 24
B) 22
C) 20
D) 18
E) 16
Park Alanındaki Maksimum Otomobil Sayısının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Toplam tekerlek sayısı denklemi: 6T + 4O + 2M = 84
- Sadeleştirilmiş denklem: 3T + 2O + M = 42
- Koşullar: T \ge 1, O \ge 1, M \ge 1 (pozitif tam sayılar) ve M > T
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Denklemi Kurma
Park alanında bulunan araçların sayılarını değişkenlerle ifade edelim:
- Tır sayısı: T (Her tırda 6 tekerlek vardır \rightarrow 6T)
- Otomobil sayısı: O (Her otomobilde 4 tekerlek vardır \rightarrow 4O)
- Motosiklet sayısı: M (Her motosiklette 2 tekerlek vardır \rightarrow 2M)
Toplam tekerlek sayısı:
6T + 4O + 2M = 84
Her terimi 2 ile sadeleştirelim:
3T + 2O + M = 42
Adım 2 — Otomobil Sayısını (O) Yalnız Bırakma
Otomobil sayısının en büyük (O_{\max}) olması için, 3T + M toplamının alabileceği en küçük çift tam sayı değerini bulmamız gerekir:
2O = 42 - (3T + M)
Adım 3 — Koşulları Sağlayan En Küçük Değerleri Belirleme
Problemde verilen koşullar:
- Park alanında her araç türünden bulunduğu için: T \ge 1, M \ge 1, O \ge 1
- Motosiklet sayısı tır sayısından fazladır: M > T
3T + M toplamını en küçük yapmak için en küçük T değerini seçelim:
- T = 1 seçilirse, M > 1 koşulundan dolayı M en az 2 olabilir.
- M = 2 için: 3(1) + 2 = 5 olur. Ancak 2O = 42 - 5 = 37 ifadesinde O tam sayı çıkmaz.
- 2O çift bir sayı olduğundan, 3T + M toplamının da çift olması gerekir.
- T = 1 iken 3(1) + M = 3 + M ifadesinin çift olabilmesi için M tek sayı olmalıdır.
- M > 1 şartını sağlayan en küçük tek tam sayı M = 3’tür.
Adım 4 — Maksimum Otomobil Sayısını Hesaplama
T = 1 ve M = 3 değerlerini denklemde yerine yazalım:
3(1) + 2O + 3 = 42
6 + 2O = 42
2O = 36
O = 18
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (18)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Diophant Denklemleri (Tam Sayı Çözümleri)
- Tanım: Değişkenlerin yalnızca tam sayı değerler alabildiği cebirsel denklemlerdir.
- Bu problemde: Araç sayıları buçuklu veya negatif olamayacağından pozitif tam sayı şartı ve teklik-çiftlik dengesi gözetilmiştir.
2. Ekstremum (En Büyük / En Küçük Değer) Problemleri
- Tanım: Toplamı sabit olan bir ifadede bir değişkeni maksimum yapmak için diğer değişkenlere kısıtlar dahilinde minimum değerler verilmesidir.
- Bu problemde: O’yu maksimum yapmak için katsayısı ve koşulu sağlayan en küçük T ve M değerleri seçilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Teklik-Çiftlik Uygunluğunu Unutmak
- Yanlış: T = 1 ve M = 2 alıp 2O = 37 \rightarrow O = 18{,}5 bularak yuvarlamak.
- Doğru: Araç sayısı tam sayı olmak zorundadır; bu yüzden 3T + M toplamının çift sayı vermesi gerekir (M = 3).
- Neden yanlış: Yarım otomobil olamayacağı için denklemin her iki tarafının paritesi (tek/çift durumu) eşit olmalıdır.
M > T Koşulunu Atlamak
- Yanlış: M = 1 ve T = 1 alarak 3(1) + 2O + 1 = 42 \implies O = 19 bulmak.
- Doğru: Soruda motosiklet sayısının tır sayısından fazla olduğu (M > T) açıkça belirtilmiştir.
- Neden yanlış: M = 1 ve T = 1 durumunda motosiklet sayısı tır sayısına eşit olur, bu da sorunun kısıtına aykırıdır.
Bu soru tipinde teklik-çiftlik veya eşitsizlik kurgusu içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?