- Alti tekerlekli tır, dört tekerlekli otomobil ve iki tekerlekli
motosikletlerin bulunduğu bir park alanındaki bu araçlar
ile ilgili,
Tüm araçların tekerlek sayılarınin toplamı 84tür.
• Motosikletlerin sayısı, tirların sayısindan fazladır.
bilgileri veriliyor.
Buna göre bu park alaninda en fazla kaç otomobil
vardır?
A) 24
B) 22
C) 20
D) 18
E) 16
Park Alanındaki Maksimum Otomobil Sayısının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Toplam tekerlek sayısı denklemi: 6 \cdot T + 4 \cdot O + 2 \cdot M = 84
- Koşul eşitsizliği: M > T \ge 1 ve O \ge 1 (T, O, M \in \mathbb{Z}^+)
- Eşitliğin her iki tarafını sadeleştirme kuralı: \text{EBOB}(6, 4, 2) = 2 ile bölme işlemi.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Denklemi Kurma
Park alanındaki araç sayılarını değişkenlerle ifade edelim:
- Tır sayısı: T (her birinde 6 tekerlek)
- Otomobil sayısı: O (her birinde 4 tekerlek)
- Motosiklet sayısı: M (her birinde 2 tekerlek)
Toplam tekerlek sayısı denklemi:
6T + 4O + 2M = 84
Adım 2 — Denklemi Sadeleştirme
Denklemin her iki tarafını 2’ye bölerek daha sade bir ifade elde edelim:
\frac{6T + 4O + 2M}{2} = \frac{84}{2}
3T + 2O + M = 42
Adım 3 — Otomobil Sayısını (O) Yalnız Bırakma ve Şartları Belirleme
Otomobil sayısının (O) en fazla olabilmesi için (3T + M) toplamının en küçük değerini alması gerekir:
2O = 42 - (3T + M)
Verilen koşullar:
- Her araç türünden bulunduğu için: T \ge 1, M \ge 1, O \ge 1
- Motosiklet sayısı tır sayısından fazla olduğu için: M > T
- 2O ve 42 çift sayı olduğundan, eşitliğin sağlanabilmesi için (3T + M) ifadesi de kesinlikle çift sayı olmalıdır.
Adım 4 — (3T + M) İfadesinin En Küçük Değerini Bulma
T ve M için en küçük pozitif tam sayıları seçelim:
- T = 1 seçilirse, M > 1 koşulunu sağlamalıdır.
- 3T + M = 3(1) + M = 3 + M toplamının çift sayı olabilmesi için M’nin tek sayı olması gerekir.
- M > 1 şartını sağlayan en küçük tek tam sayı M = 3’tür.
Bu değerleri yerine koyduğumuzda:
3T + M = 3(1) + 3 = 6
Adım 5 — Maksimum O Değerini Hesaplama
Bulunan en küçük (3T + M) = 6 değerini denklemde yerine yazalım:
2O = 42 - 6
2O = 36
O = \frac{36}{2} = 18
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (18)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Temel Sayı Kümeleri ve Tam Sayı Problemleri
- Tanım: Nesne veya araç sayıları daima pozitif tam sayılar (\mathbb{Z}^+) kümesine aittir; kesirli veya negatif olamaz.
- Bu problemde: Araç sayıları (T, O, M) en az 1 olmalı ve denklemi tam sayı olarak sağlamalıdır.
2. Teklik - Çiftlik (Parite) Analizi
- Tanım: İki çift sayının farkı daima çift sayıdır (\text{Çift} - \text{Çift} = \text{Çift}).
- Bu problemde: 42 - 2O ifadesi kesinlikle çift olduğundan, 3T + M toplamının çift sayı olması zorunluluğu kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Teklik-Çiftlik Uygunluğunu Kontrol Etmemek
- Yanlış: T = 1 alıp M > 1 şartından dolayı M = 2 seçmek: 3(1) + 2 = 5 \implies 2O = 37 \implies O = 18{,}5 (araç sayısı kesirli çıkamaz).
- Doğru: 2O’nun tam sayı çıkması için 3T + M toplamının çift sayı olması gerektiğini hesaba katarak M = 3 seçmek.
- Neden Yanlış: Araç sayısı reel bir nesne olduğu için yalnızca pozitif tam sayı değerleri alabilir.
Bu problem türünü pekiştirmek için benzer bir temel kavramlar/sayı problemi çözmemi ister misin?