mlksOrijinal
MIKRO AYTD
23. Gerçel sayilar kümesinde tanımit bir f fonksiyonu için
/x-)dx =-1
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
dx
integralinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 1 16
Soru Fotoğrafı:
Verilen İntegral Problemi Çözümü
Verilen:
\int_{-1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx = 1
Buna göre,
\int_1^4 \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri bulunacaktır.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — İlk İntegrali Değerlendir:
Verilen integralde t = x^2 yer değişimi yapılabilir.
Burada dt = 2x \, dx \Rightarrow x\, dx = \frac{dt}{2} .
Sınırlar:
- x = -1 \Rightarrow t = (-1)^2 = 1
- x = \sqrt{2} \Rightarrow t = (\sqrt{2})^2 = 2
Öyleyse:
\int_{-1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx = \int_{t=1}^{2} f(t) \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_1^2 f(t) \, dt = 1
Buradan,
\int_1^2 f(t) \, dt = 2
Adım 2 — İstenen İntegrali İnceleme:
\int_1^4 \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
Burada u = \sqrt{x} \Rightarrow x = u^2 , dolayısıyla:
dx = 2u \, du
Sınırlar:
- x=1 \Rightarrow u=1
- x=4 \Rightarrow u=2
İntegral şu hale gelir:
\int_1^4 \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_1^2 \frac{f(u)}{u} \cdot 2u \, du = \int_1^2 2 f(u) \, du = 2 \int_1^2 f(u) \, du
Önceki adımdan \int_1^2 f(u) \, du = 2 olduğu için:
= 2 \times 2 = 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Yer Değiştirme (Substitution) İntegali
- İntegralde uygun değişken değişikliği yaparak integrali daha kolay bir forma dönüştürürüz.
2. İntegral Sınırlarının Değişimi
- Değişken dönüşümü yapıldığında integral sınırları yeni değişkene göre tekrar hesaplanır.
Yaygın Hatalar:
Yanlış Sınır Değişimi
- Sınırlar x üzerinden alınırken değiştirilmiş değişkene göre güncellenmez.
- Doğru: Her zaman dönüşüm yaptıktan sonra sınırlar yeni değişkene göre ayarlanmalı.
dx’in Yanlış Dönüşümü
- dx yerine yanlış bir ifade koymak integral sonucunu yanlış yapar.
- Doğru: dx = 2u\, du gibi doğru türev alınmalı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
MIKRO AYTD eşitliği veriliyor
Kullanılan dönüşüm: u=x^2 ve x=\sqrt{t} türü değişken değiştirme
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilen integrali yazalım
Resimde verilen eşitlik:
\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2)\,dx = 1
İstenen integral ise:
\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx
Adım 2 — Verilen integrali uygun dönüşüme sokalım
Verilen integralde
u=x^2
alalım.
Buna göre:
du=2x\,dx \Rightarrow x\,dx=\frac{du}{2}
Sınırlar:
- x=1 iken u=1
- x=\sqrt{2} iken u=2
O hâlde:
$$\int_{1}^{\sqrt{2}} x\cdot f(x^2),dx
= \frac{1}{2}\int_{1}^{2} f(u),du$$
Bu değer 1 verilmişti:
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} f(u)\,du = 1
Buradan:
\int_{1}^{2} f(u)\,du = 2
Adım 3 — İstenen integrali dönüştürelim
İstenen integralde
t=\sqrt{x} \Rightarrow x=t^2,\quad dx=2t\,dt
Ayrıca:
\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = \frac{f(t)}{t}
O hâlde integral:
$$\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}},dx
= \int_{1}^{2} \frac{f(t)}{t}\cdot 2t,dt
= 2\int_{1}^{2} f(t),dt$$
Adım 4 — Bulduğumuz değeri yerine koyalım
2\int_{1}^{2} f(t)\,dt = 2\cdot 2 = 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Değişken değiştirme
- Tanım: İntegralde ifadeyi daha uygun bir değişkene dönüştürme yöntemidir.
- Bu soruda: Hem verilen hem istenen integral aynı tür dönüşümle sadeleştirildi.
2. Sınır dönüşümü
- Tanım: Değişken değişince integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesidir.
- Bu soruda: x sınırları, u=x^2 ve t=\sqrt{x} ile yeniden yazıldı.
Sık Yapılan Hatalar:
Sınırları değiştirmemek
- Yanlış: Değişken değiştirip eski sınırlarla devam etmek
- Doğru: Yeni değişkene göre sınırları baştan yazmak
- Neden yanlış: Sonuç hatalı çıkar
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?