miK Or al
BÕLME BÖLÜNE
olrha
sel
Cikmış Soru
(2025/ MSÚ)
os
Üç basamaklı A0B doğal sayısı 5 ile tam bölünmekte, bu
bölümden elde edilen bölüm 23 ile bölündüğünde bölüm
B, kalan A olmaktadır.
Buna göre A + B toplamı kaçtır?
|A) 11
B) 1 10
C)9
D) 8
E) 7
3ba
mah
olus
Üç Basamaklı A0B Sayısının Bölme ve Bölünebilme Kuralları ile Çözümü
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın 0 veya 5 olması gerekir.
- Bölme Özdeşliği: \text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan} (Burada 0 \le \text{Kalan} < \text{Bölen} olmalıdır).
- Basamak Analizi: A0B = 100A + 0 \times 10 + B = 100A + B
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B Rakamının Belirlenmesi
A0B sayısı üç basamaklı bir doğal sayıdır, dolayısıyla A \neq 0’dır.
Sayı 5 ile tam bölündüğüne göre birler basamağı B = 0 veya B = 5 olmalıdır.
Adım 2 — Bölme İşlemini Cebirsel Olarak İfade Etme
A0B sayısının 5’e bölümünden elde edilen bölüm:
\frac{A0B}{5} = \frac{100A + B}{5} = 20A + \frac{B}{5}
Bu bölüm 23 ile bölündüğünde bölüm B, kalan A olduğuna göre bölme bağıntısı:
\frac{A0B}{5} = 23 \cdot B + A
Adım 3 — Eşitliğin Düzenlenmesi
İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi sadeleştirelim:
100A + B = 5 \cdot (23B + A)
100A + B = 115B + 5A
100A - 5A = 115B - B
95A = 114B
Her iki tarafı 19 ile sadeleştirelim:
5A = 6B
Adım 4 — A ve B Değerlerinin Bulunması
- B = 0 olursa 5A = 0 \implies A = 0 olur. Ancak A0B üç basamaklı bir sayı olduğundan A \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla B = 0 olamaz.
- B = 5 olmalıdır:
5A = 6 \cdot 5
5A = 30 \implies A = 6
Adım 5 — Sağlama ve Doğrulama
- Sayımız: A0B = 605
- 605 \div 5 = 121
- 121’i 23’e bölelim: 121 = 23 \times 5 + 6
- Bölüm 5 (B), kalan 6 (A) olarak elde edilir. Kalan (6 < 23) şartı da sağlanır.
Adım 6 — İstenen Toplamın Hesaplanması
A + B = 6 + 5 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (11)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bölme Bağıntısı ve Kalan Koşulu
- Tanım: Bir bölme işleminde kalan her zaman bölenden küçük ve sıfıra eşit veya büyük olmak zorundadır (0 \le K < \text{Bölen}).
- Bu problemde: Kalan A sayısı bölen olan 23’ten küçük olmalıdır (6 < 23), bu şart sağlanmıştır.
2. Basamak Çözümleme
- Tanım: Bir sayının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır.
- Bu problemde: A0B sayısı 100A + B şeklinde yazılarak 5’e bölme işlemi cebirsel olarak kolayca çözülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
B = 0 Durumunu Kabul Etmek
- Yanlış: 5A = 6B eşitliğinde B = 0 alınarak A = 0 bulunması.
- Doğru: A0B üç basamaklı bir sayı olduğu için en büyük basamak sıfır olamaz (A \neq 0). Bu nedenle B \neq 0’dır.
- Neden yanlış: Yüzler basamağı sıfır olan bir ifade üç basamaklı bir sayı belirtmez.
Benzer bir bölme-bölünebilme veya basamak kavramı sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
bunun en pratik yolu nedir daha kısa formülüze edilmiş hali basit yolu
A0B Bölme Bölünebilme Sorusunun En Pratik (Sınav Tipi) Çözümü
KULLANILAN PRATİK MANTIK:
- Doğrudan Değer Tespiti: Sayı 5’e bölündüğü için B yalnızca 0 veya 5 olabilir. A \neq 0 şartından dolayı B doğrudan 5 alınır.
- Tersten İşlem Kuralı: \text{Sayı} = 5 \times (23B + A)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B Rakamını Tek Hamlede Bulma
A0B üç basamaklı olduğundan yüzler basamağı A \neq 0’dır. Sayı 5 ile tam bölündüğü için B = 0 veya B = 5 olmalıdır. B = 0 seçilirse kalan A = 0 çıkmak zorunda kalır (çelişki). Bu nedenle doğrudan:
B = 5
Adım 2 — Tersten İşlemle Denklem Kurma
5’e bölündükten sonraki bölüm 23’e bölündüğünde bölüm 5, kalan A ise bu ara bölüm:
\text{Bölüm} = 23 \times 5 + A = 115 + A
Asıl sayı bu bölümün 5 katı olduğundan:
A05 = 5 \times (115 + A)
A05 = 575 + 5A
Adım 3 — A Rakamını Çözme
A05 sayısı 100A + 5 demektir:
100A + 5 = 575 + 5A
95A = 570
A = \frac{570}{95} = 6
(Pratik kontrol: 575 + 5 \times 6 = 605)
Adım 4 — Toplamı Hesaplama
A + B = 6 + 5 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (11)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sınav Pratiği (Tersten Gitme)
- Tanım: Bölme işlemlerini adım adım yazmak yerine \text{Bölünen} = \text{Bölen} \times \text{Bölüm} + \text{Kalan} formülünü tersten uygulayarak tek bir eşitliğe dönüştürmektir.
- Bu problemde: İki ayrı bölme yapmak yerine doğrudan A0B = 5 \times (23B + A) yazılarak işlem süresi yarı yarıya indirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
B’yi Bulmadan İki Bilinmeyenli Denklemle Vakit Kaybetmek
- Yanlış: B’nin alabileceği 0 ve 5 ihtimallerini baştan elemeden 100A + B = 115B + 5A denkleminde sadeleştirmelerle uzun süre uğraşmak.
- Doğru: B=5 olduğunu en başta yazıp tek bilinmeyenli (A) basit denkleme dönüştürmek.
- Neden yanlış: TYT/MSÜ gibi süre odaklı sınavlarda gereksiz zaman kaybına yol açar.
Benzer mantıkla çözülen bir başka bölme-bölünebilme soru tipiyle pratik yapalım mı?
daha pratikleştir
A0B Sorusunun 10 Saniyelik Ultra Pratik (Şık / Tahmin) Çözümü
KULLANILAN ULTRA PRATİK KURAL:
- Tek İhtimal: A \neq 0 olduğundan B kesinlikle 5’tir.
- Şık Eleme: B = 5 bilindiğinde, şıklar doğrudan A rakamını verir (A = \text{Şık} - 5).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B Rakamını Sabitleme
A0B sayısı 5’e tam bölündüğü ve üç basamaklı olduğu için birler basamağı sıfır olamaz.
B = 5
Adım 2 — Şıklardan A Rakamını Test Etme
Soru bizden A + B = A + 5 toplamını istiyor:
- A Şıkkı (11): A = 11 - 5 = 6
- B Şıkkı (10): A = 10 - 5 = 5
- C Şıkkı (9): A = 9 - 5 = 4
Adım 3 — A Şıkkının 3 Saniyelik Zihinsel Kontrolü
A = 6 için sayımız 605 olur:
\frac{605}{5} = 121
121 = 23 \times 5 + 6
(Bölüm B = 5, Kalan A = 6 tam sağlandı.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (11)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. TYT/MSÜ Şıktan Gitme Stratejisi
- Tanım: Değişkenlerden biri (B) kesinleştiğinde denklem kurmak yerine kalan tek değişkeni (A) doğrudan seçenekler üzerinden test etmektir.
- Bu problemde: B=5 bulunduktan sonra işlem yapmadan ilk şık (A=6) denendiğinde cevap anında doğrulanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıyı Genel Denklemle Çözmeye Çalışmak
- Yanlış: Test sınavında çoktan seçmeli avantajını kullanmayıp her soruyu klasik yazılı gibi cebirsel işlemlerle uzatmak.
- Doğru: B=5 olduğu an şıkları 5 eksilterek A değerlerini görmek ve direkt sağlamasını yapmak.
- Neden yanlış: Sınavda yaklaşık 40-50 saniye kaybettirir.
Bu pratik şık eleme taktiğini uygulayabileceğimiz başka bir çıkmış sınav sorusu çözmek ister misin?
neden 5 katı
Asıl Sayının Elde Edilen Bölümün 5 Katı Olma Nedeni
BÖLME ÖZDEŞLİĞİ KURALI:
\text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan}
ADIM ADIM AÇIKLAMA:
Soruda iç içe iki ayrı bölme işlemi yapılmaktadır:
Adım 1 — Birinci Bölme İşlemi (5 ile Bölme)
- A0B sayısı 5’e tam bölündüğü için kalan 0’dır.
- Bu bölme işleminden elde edilen sonuca (bölüme) X diyelim:
A0B \div 5 = X \quad \implies \quad A0B = 5 \times X
(Yani asıl sayımız, elde edilen bu X bölümünün tam 5 katıdır.)
Adım 2 — İkinci Bölme İşlemi (23 ile Bölme)
- Soru metninde “bu bölümden elde edilen bölüm 23 ile bölündüğünde…” denilen ifade X sayısıdır.
- X sayısı 23’e bölündüğünde bölüm B, kalan A olmaktadır:
X = 23 \times B + A
Adım 3 — İki İfadenin Birleştirilmesi
- Birinci adımda bulduğumuz A0B = 5 \times X eşitliğinde X yerine ikinci adımda bulduğumuz (23B + A) ifadesini yazarız:
A0B = 5 \times (23B + A)
İşte bu yüzden asıl sayımız, ikinci bölme işlemindeki ifadenin tamamının 5 katı olmaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET: Bir sayıyı 5’e böldüğümüzde bir sonuç (X) çıkıyorsa, sayının kendisini geri elde etmek için o sonucu tekrar 5 ile çarpmamız gerekir (A0B = 5 \cdot X).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bölmenin Sağlaması (Ters İşlem)
- Tanım: Bölme işleminin tersi çarpmadır. Kalan sıfır ise \text{Bölünen} = \text{Bölen} \times \text{Bölüm} olur.
- Bu problemde: A0B sayısı 5’e bölündüğü için, ara bölümün (115 + A) 5 ile çarpımı doğrudan ilk sayıyı verir.
SIK YAPILAN HATALAR:
5 ile Yalnızca 23’ü Çarpmak
- Yanlış: A0B = 5 \times 23B + A = 115B + A yazmak.
- Doğru: 5 katsayısı parantezin tamamına dağıtılmalıdır: 5 \times (23B + A) = 115B + 5A.
- Neden yanlış: Kalan A değeri X sayısının içindedir, X’in 5 katı alındığında A da 5 ile çarpılır.
Bu ters işlem mantığını pekiştirmek için benzer bir iç içe bölme sorusu çözelim mi?