Mhchng

YKS TYT
1

IMG20260213170610
IMG20260213170610720×1277 42.2 KB

2

Ters Orantı Soruları Çözümü

Önemli Noktalar

  • Ters orantı, iki değişkenin çarpımının sabit olduğu ilişki biçimidir.
  • Ters orantılı sayılar için formül: x \times y = k (sabit)
  • Doğru orantıda ise oranlar eşittir: \frac{x}{a} = \frac{y}{b}

Ters orantılı üç sayı verildiğinde, her sayının kendisine karşılık gelen sabit bir değer ile çarpımı sabittir. Verilen sorularda bu temel kavramı kullanarak bilinmeyen sayıyı veya değişkeni bulabiliriz.

İçindekiler

  1. Soru 1: a, b, c Ters Orantı Problemi
  2. Soru 2: (2a+1) ve (b-1) Ters Orantı Problemi
  3. Soru 3: Doğru Orantılı Sayılar ve Ters Orantıları
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. a, b, c Ters Orantı Problemi

Soru:
a, b ve c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 ile ters orantılıdır.
a + b + c = 62 ise b kaçtır?

Çözüm:
Ters orantılı oldukları için;

a = \frac{k}{2}, \quad b = \frac{k}{3}, \quad c = \frac{k}{5}

Burada k sabit bir değerdir.

Toplam:

a + b + c = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{5} = k \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)

Paydaları eşitleyelim:

\frac{1}{2} = \frac{15}{30}, \quad \frac{1}{3} = \frac{10}{30}, \quad \frac{1}{5} = \frac{6}{30}

Toplam:

\frac{15 + 10 + 6}{30} = \frac{31}{30}

Denklem:

k \times \frac{31}{30} = 62 \Rightarrow k = \frac{62 \times 30}{31} = 60

b için:

b = \frac{k}{3} = \frac{60}{3} = 20

Cevap: C) 20

:light_bulb: Pro Tip: Ters orantılı sayılarda toplam bilgi verildiğinde sabit değeri bulmak, ardından istenen elemanı hesaplamak için önce paydaları eşitleyin.

2. (2a + 1) ile (b - 1) Ters Orantı Problemi

Soru:
(2a + 1) ile (b - 1) ifadeleri ters orantılıdır.
Verilenler:

a=3 \text{ iken } b=6

Soru:

a=7 \text{ olduğunda } b \text{ kaçtır?}

Çözüm:
Ters orantı olduğundan:

(2a +1) \times (b -1) = k

Öncelikle a=3, b=6 için k’yı bulalım:

(2 \times 3 +1) \times (6 -1) = (6 +1) \times 5 = 7 \times 5 = 35

Şimdi a=7 için b yi bulalım:

(2 \times 7 +1) \times (b -1) = 35 \Rightarrow (14 +1)(b -1) = 35 \Rightarrow 15(b -1) = 35
b -1 = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} \Rightarrow b = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}

Cevap: D) \frac{10}{3}

:warning: Uyarı: Ters orantılı değişkenlerde çarpımın sabit olduğunu unutmayın ve verilen değerlerle sabiti bulun.

3. Doğru Orantılı Sayılar ve Ters Orantıları

Soru:
a,b,c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 ile doğru orantılıdır.
Bu ifadeler hangi sayılar ile ters orantılıdır?

Çözüm:
Eğer a,b,c sırasıyla 2, 3 ve 5 ile doğru orantılı ise:

a = 2k, \quad b=3k, \quad c=5k

Bu sayılarla ters orantılı olan sayılar, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} ile doğru orantılıdır. Yani bu üç sayı ile ters orantılı sayılar

\frac{1}{2k}, \frac{1}{3k}, \frac{1}{5k}

olacaktır.

Klasik ters oranlı sayılar, orijinal sayıların çarpanlarının tersi (paydaları) şeklinde ifade edilir. Soruda seçenekler arasında

  • Orijinal katsayıların tam tersini içeren diziyi bulmamız gerekiyor.

Orijinal: 2, 3, 5
Ters orantılı: \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} → Bu oranı tamsayı yapmak için ortak çarpanla çarpılır:

1/2 = ?/x, \quad 1/3 = ?/x, \quad 1/5 = ?/x

Eşit oranlı tam sayıları bulmak için en küçük ortak kat 30’dir:

\frac{15}{30}, \frac{10}{30}, \frac{6}{30}

Yani ters orantılı sayılar sırasıyla 15, 10, 6’dır.

Doğru seçenek: C) 15, 10, 6

:light_bulb: Pro Tip: Doğru orantılı sayıların ters orantılıları, orijinal sayıların çarpımının ortak katlarıyla çarpılıp paydaların tamsayıya dönüştürülmesiyle bulunur.

Özet Tablo

Soru No Problem Türü Çözüm Yöntemi Sonuç
1 Ters Orantı (a,b,c) Ters orantı formülü, toplam ile sabit k bulunur b=20
2 Ters Orantı (2a+1, b-1) Çarpım sabitliği ile k bulunur, ikinci durumda b hesaplanır b=\frac{10}{3}
3 Doğru Orantı → Ters Orantı Ters orantılı sayıların ortak kat yöntemiyle tamsayı dizisi bulunur 15, 10, 6

Sık Sorulan Sorular

1. Ters orantı ve doğru orantı arasındaki temel fark nedir?
Ters orantıda iki değişkenin çarpımı sabittir; biri artınca diğeri azalır. Doğru orantıda ise iki değişkenin oranı sabittir; biri artınca diğeri de artar.

2. Ters orantılı sayılar nasıl bulunur?
Orijinal sayıların karşılık geldiği katsayılarla ters orantıdaki sayılar, katsayılara bölünür veya katsayıların tersiyle orantılı olur.

3. Ters orantıda toplam bilgiler verildiğinde nasıl çözüm yapılır?
Her bir sayı sabit k bölü katsayı formuna yazılır, toplamla denklem kurulur, k bulunur ve istenen değer hesaplanır.

Sonraki Adımlar

İsterseniz ters orantı ve doğru orantı konularında daha fazla örnek ve problem çözümü hazırlayabilirim. Ayrıca oran ve orantı kavramlarını içeren YKS matematik soru tiplerini birlikte inceleyelim mi?

@Ahmet_Yasin1

3

Tip-17, 18 ve 19 Soruları

Önemli Başlıklar

  • Ters orantıda her değişkenin sabit k ile çarpımı sabittir: x=\frac{k}{a}
  • Doğru orantıda her değişken sabit k ile çarpılır: x=k\cdot a
  • Orantı problemlerinde önce k sabiti bulunur, ardından istenen değişken hesaplanır

Doğrudan Yanıt

Ters orantı formüllerini kullanarak
• Tip-17 için b=20
• Tip-18 için b=\tfrac{10}{3}
• Tip-19 ifadeleri ters orantılı oldukları sayılar 15,\;10,\;6 olarak bulunur.

İçindekiler

  1. Tip-17 Çözümü
  2. Tip-18 Çözümü
  3. Tip-19 Çözümü
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

Tip-17 Çözümü

Ters orantı durumunda

a=\frac{k}{2},\quad b=\frac{k}{3},\quad c=\frac{k}{5}

Toplam:

a+b+c=\frac{k}{2}+\frac{k}{3}+\frac{k}{5} =\frac{15k+10k+6k}{30} =\frac{31k}{30}=62

Buradan k=60 ve

b=\frac{k}{3}=\frac{60}{3}=20.

Tip-18 Çözümü

(2a+1) ile (b-1) ters orantılı olduğundan

b-1=\frac{k}{2a+1}.

a=3,b=6 için:

6-1=5=\frac{k}{7}\quad\Rightarrow\quad k=35.

a=7 olduğunda:

b-1=\frac{35}{2\cdot7+1}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3} \quad\Rightarrow\quad b=1+\frac{7}{3}=\frac{10}{3}.

Tip-19 Çözümü

Doğru orantıda

a=2k,\quad b=3k,\quad c=5k \;\Longrightarrow\; a:b:c=2:3:5.

Ters orantı karşılığı göstermek istersek

a:b:c=\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z} \;=\;1/2:1/3:1/5 \;=\;15:10:6.

Cevap: 15, 10, 6.

Doğru vs Ters Orantı Karşılaştırması

Özellik Doğru Orantı Ters Orantı
Formül y=kx y=\dfrac{k}{x}
Sabit Bulma k=\dfrac{y}{x} k=y\cdot x
Örnek (Tip-19) a=2k,\;b=3k,\;c=5k a=\frac{k}{2},\;b=\frac{k}{3},\;c=\frac{k}{5}
Oran 2:3:5 1/2:1/3:1/5

Özet Tablosu

Soru Formül Sonuç
Tip-17 a=\frac{k}{2},\,b=\frac{k}{3},\,c=\frac{k}{5} b=20
Tip-18 b-1=\frac{k}{2a+1} b=\tfrac{10}{3}
Tip-19 a:b:c=2:3:5\to x:y:z=1/2:1/3:1/5 15,\,10,\,6

SSS

  1. Ters orantı nedir?
  • Bir değişkenin artışı diğerinin azalışıyla sabit çarpımı koruduğu ilişkidir.
  1. Doğru orantı nedir?
  • Bir değişkenin artışıyla diğerinin de sabit bir oranla arttığı ilişkidir.
  1. Orantı sabiti k nasıl bulunur?
  • Doğru orantıda k=\tfrac{y}{x}, ters orantıda k=x\cdot y formülleriyle.
  1. Orantı problemlerinde izlenecek adımlar nelerdir?
  • İlgili formülü seç, k sabitini verilen değerlerle bul, isteneni hesapla.

Bu çözümler kavramı pekiştirdi mi? Başka örneklerle pratik yapmak ister misin, Ahmet_Yasin1?