Metre olan (ED] duvarının önü ve arkası gözlemleni Kameranin kuleyle yaptığı açı Şekil 1'deki gibi m(BAD) = a

Question Answer
1
  1. Zemine dik olan bir kuledeki kamera lle kuleye uZak.
    metre olan (ED] duvarının önü ve arkası gözlemleni
    Kameranin kuleyle yaptığı açı Şekil 1’deki gibi
    m(BAD) = a yapıldığında kameranin duvarıin önünde
    m(BAC) = 2a yapıldiğında duvarın arkasinda gördüộn
    yakın nokta kuleye uzaklığı 36 metre olan C noktası
    olmaktadır.
    A
    20
    10
    A) 12 B) 15
    m
    E
    D
    Şekil 1
    Db
    36
    Şekil 2
    C) 16
    Buna göre kulenin yüksekliği olan |AB| kaç metred
    2
    D) 18
    E) 20

Zemine dik olan bir kuledeki kamera lle kuleye uZak.
Zemine dik olan bir kuledeki kamera lle kuleye uZak.619×1024 67.8 KB

2

Trigonometrik Yarım Açı ile Kule Yüksekliği Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Dik üçgende dar açının tanjantı ve tanjant iki kat açı formülü:

\tan \theta = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \tan\alpha Değerinin Belirlenmesi
Kulenin yüksekliğine |AB| = h diyelim. Kulenin zemine dik olduğu belirtildiğinden ABD üçgeni bir dik üçgendir (m(\widehat{ABD}) = 90^\circ).
Şekil 1’deki ABD dik üçgeninde \alpha açısının tanjantını yazalım:

\tan\alpha = \frac{|BD|}{|AB|} = \frac{10}{h}

Adım 2 — \tan(2\alpha) Değerinin Belirlenmesi
Şekil 2’de kameranın görüş doğrusu ile kule arasındaki açı 2\alpha olup görüş çizgisi zeminde kuleye 36\text{ m} uzaklıktaki C noktasına ulaşmaktadır.
ABC dik üçgeninde (m(\widehat{ABC}) = 90^\circ) 2\alpha açısının tanjantını yazalım:

\tan(2\alpha) = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{36}{h}

Adım 3 — Tanjant Yarım Açı Formülünü Uygulayarak h Değerini Bulma
Tanjantın iki kat açı açılımında bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}
\frac{36}{h} = \frac{2 \cdot \left(\dfrac{10}{h}\right)}{1 - \left(\dfrac{10}{h}\right)^2}

Eşitliğin sağ tarafındaki pay ve paydadan h terimlerini düzenleyelim:

\frac{36}{h} = \frac{\dfrac{20}{h}}{1 - \dfrac{100}{h^2}}

Her iki tarafı h ile çarpıp sadeleştirelim:

36 = \frac{20}{1 - \dfrac{100}{h^2}}

İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim:

1 - \frac{100}{h^2} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}
\frac{100}{h^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

Her iki tarafın karekökünü alalım:

\frac{10}{h} = \frac{2}{3} \implies 2h = 30 \implies h = 15\text{ metre}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Tanjant İki Kat Açı Özdeşliği: \tan(2\alpha), doğrudan \tan\alpha cinsinden ifade edilerek trigonometrik denklem kurmayı sağlar.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 2\alpha açısının tanjantını doğrudan 2 \cdot \tan\alpha olarak almak (\tan(2\alpha) \neq 2\tan\alpha).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: İki kat açı formülü olan \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} bağıntısını eksiksiz uygulamak.

Bu sorudaki yarım açı bağıntısının farklı geometrik uygulamalarını içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?