Mesut, en küçüğü 1 olan vẹ birer birer artan birkaç ardışık
doğal sayıyı toplayacaktır. Mesut, toplama işlemini yaparken
en büyük olan son sayıyI yanlışlıkla iki kez toplayınca sonucu
iki kez topladığı sayının 7 katı bulmuştur.
Buna göre, Mesut’un iki kez topladığı sayı kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
Ardışık Sayıların Toplamı Sorusunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL:
1’den n’e kadar olan ardışık doğal sayıların toplam formülü:
S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Problemi Matematiksel Olarak İfade Etme
Toplanacak ardışık doğal sayılar 1’den başlayıp n’e kadar gitmektedir. Dizideki en büyük sayı n’dir.
Mesut, bu sayıları toplarken en büyük sayı olan n sayısını yanlışlıkla iki kez toplamıştır.
Bu durumda Mesut’un elde ettiği hatalı toplam T:
T = \left(\frac{n \times (n + 1)}{2}\right) + n
Adım 2 — Denklem Kurma
Soruda, Mesut’un bulduğu sonucun iki kez topladığı sayının (n’nin) 7 katına eşit olduğu ifade edilmiştir:
T = 7 \times n
Elde edilen iki ifade birbirine eşitlenir:
\frac{n \times (n + 1)}{2} + n = 7 \times n
Adım 3 — Denklemi Çözme
Eşitliğin her iki tarafından n terimini çıkaralım:
\frac{n \times (n + 1)}{2} = 7n - n
\frac{n \times (n + 1)}{2} = 6n
n bir doğal sayı ve n \neq 0 olduğu için eşitliğin her iki tarafını n’ye bölelim:
\frac{n + 1}{2} = 6
Her iki tarafı 2 ile çarpalım:
n + 1 = 12
n = 11
Adım 4 — Sonucu Doğrulama
İki kez toplanan en büyük sayı n = 11’dir.
- 1’den 11’e kadar sayıların doğru toplamı: \frac{11 \times 12}{2} = 66
- Mesut en büyük sayı olan 11’i bir kez daha eklediğinde: 66 + 11 = 77
- Bulunan 77 sonucu, iki kez toplanan 11 sayısının 7 katıdır (7 \times 11 = 77).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Sayı Toplamı (Gauss Toplamı)
- Tanım: 1’den başlayarak 1’er artan n tane doğal sayının toplamı \frac{n(n+1)}{2} formülü ile hesaplanır.
- Bu problemde: 1’den n’e kadar olan sayıların toplamı denklemimizin ana parçası olarak kullanılmıştır.
2. Hatalı Toplam Denklemleri
- Tanım: Bir kümedeki bir eleman birden fazla kez toplandığında, gerçek toplama o elemanın fazladan eklenme sayısı kadar değer ilave edilir.
- Bu problemde: İki kez toplanan eleman en büyük sayı olan n olduğu için doğru toplama +n eklenerek hatalı toplam oluşturulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
İki Kez Toplanan Sayıyı Farklı Bir Değişken Kabul Etmek
- Yanlış: İki kez toplanan sayıyı n’den bağımsız x gibi rastgele bir sayı sanıp toplamı \frac{n(n+1)}{2} + x = 7x şeklinde kurmak.
- Doğru: Metinde “en büyük olan son sayıyı iki kez toplayınca” dendiği için iki kez toplanan sayı doğrudan kümenin son terimi olan n’dir.
- Neden yanlış: Bağımsız bir x değişkeni eklemek denklemi iki bilinmeyenli hale getirir ve tek başına çözülmesini engeller.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir ardışık sayı problemi çözmemi ister misin?