Mert’in hesap makinesi ile üç kez karekök alma işleminden sonra bulduğu sayının tam kısmı 1 olduğuna göre x sayısının en büyük değeri kaçtır?
A) 99
B) 224
C) 255
D) 323
E) 624
Aşağıdaki sayılardan hangisi sayı doğrusunda \sqrt{2} sayısına diğerlerinden daha yakındır?
A) 1, 2
B) 1, 3
C) 1, 4
D) 1, 5
E) 1, 6
2. Soru: Ardışık Karekök Alma İşlemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir A pozitif tam sayısının karekökünün tam kısmı k ise:
k \le \sqrt{A} < k + 1 \iff k^2 \le A < (k+1)^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tersine İşlem ile Üçüncü Aşamayı Belirleme
Mert işlemi 3 kez uyguluyor. Her adımda bir önceki sonucun tam kısmının karekökünü alıyor.
Sonucun (3. adımın) tam kısmı 1 olduğuna göre, bu aşamadaki tam sayıya a_3 diyelim:
\lfloor \sqrt{a_2} \rfloor = 1 \implies 1 \le \sqrt{a_2} < 2 \implies 1 \le a_2 < 4
x’in en büyük değeri istendiği için a_2 tam sayısının alabileceği en büyük değeri seçeriz:
a_2 = 3
Adım 2 — İkinci Aşamadaki Sayıyı Belirleme
a_2, bir önceki aşamadaki sayının (a_1) karekökünün tam kısmıdır:
\lfloor \sqrt{a_1} \rfloor = 3 \implies 3 \le \sqrt{a_1} < 4 \implies 9 \le a_1 < 16
a_1 tam sayısının alabileceği en büyük değer:
a_1 = 15
Adım 3 — İlk Sayı (x) İçin En Büyük Değeri Bulma
a_1, baştaki x pozitif tam sayısının karekökünün tam kısmıdır:
\lfloor \sqrt{x} \rfloor = 15 \implies 15 \le \sqrt{x} < 16 \implies 15^2 \le x < 16^2
225 \le x < 256
Bu aralıkta x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri:
x = 256 - 1 = 255
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 255
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tam Kısım Fonksiyonu: Bir sayının kendisinden küçük veya eşit olan en büyük tam sayı değeridir.
- Tersine Mühendislik (Geriye Doğru Çözüm): Çok adımlı işlemlerde en büyük değeri bulmak için son adımdan başlanarak her eşitsizliğin üst sınırları takip edilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Aradaki adımlarda tam kısmı almayı unutup doğrudan \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = x^{1/8} formülü ile x < 2^8 = 256 mantığından giderek şans eseri doğruya ulaşmak ancak tam kısım adımlarını ihmal etmek.- Doğru Yaklaşım: Metinde açıkça belirtilen “bulduğu sonucun tam kısmının tekrar karekökünü alıyor” kuralına sadık kalarak her adımda sınırları belirlemektir.
3. Soru: Sayı Doğrusunda \sqrt{2} Sayısına En Yakın Değer
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Karekök içindeki bir sayının yaklaşık değerini bulmak için sayıların kareleri karşılaştırılır:
\sqrt{2} \approx 1,4142...
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Seçeneklerin Karelerini Hesaplama
Sayı doğrusunda \sqrt{2}'ye olan yakınlığı incelemek için verilen sayıların karelerini 2 sayısı ile karşılaştırabiliriz:
- (1,2)^2 = 1,44
- (1,3)^2 = 1,69
- (1,4)^2 = 1,96
- (1,5)^2 = 2,25
- (1,6)^2 = 2,56
Adım 2 — \sqrt{2}'ye Olan Mesafeleri İnceleme
\sqrt{2} \approx 1,414 değerine olan doğrudan farklara bakalım:
- |1,414 - 1,2| = 0,214
- |1,414 - 1,3| = 0,114
- |1,414 - 1,4| = 0,014
- |1,5 - 1,414| = 0,086
- |1,6 - 1,414| = 0,186
En küçük fark 0,014 ile 1,4 sayısındadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 1,4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Benzer bir kareköklü sayı tahmin sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?