Merkezinden aşağıdaki uzakltklar için elektriksel potansiyeli ve elektrik alant hesaplayınz 1

Üniversite
1

Soru:
S.4. lçi boş küresel bir iletkenin yariçapı 10 cm ve üzerindeki yük 30 uC dur. Bu iletkenin
merkezinden aşağıdaki uzakltklar için elektriksel potansiyeli ve elektrik alant hesaplayınz1
a)r5 cm. b)r =10 cm
304C
c)r =15cm.
(k9.10 Nm/C)
V= =9.1030
27Jov
E O
b) ra fou
V

=E8=90 3o.16

O,1

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

İçi boş küresel iletkenin merkezinden verilen uzaklıklar için elektriksel potansiyel ve elektrik alan hesaplama

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Elektriksel potansiyel V = k \frac{Q}{r}
  • Elektrik alan E = k \frac{Q}{r^2}
  • İçi boş iletkenin içinde (yarıçap R den küçük) elektrik alan E = 0 ve potansiyel sabittir (yüzeydeki potansiyel).

Burada,
k = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 ,
Q = 30 \, \mu C = 30 \times 10^{-6} \, C ,
R = 10 \, cm = 0.1 \, m .

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a) r = 5 \, cm = 0.05 \, m (kürenin içi)

  • Elektrik alan içi boş iletkenin içinde sıfırdır:
    E = 0
  • Elektrik potansiyeli küre yüzeyindeki potansiyele eşittir (elektrik potansiyeli sabittir içte):
    V = k \frac{Q}{R} = 9 \times 10^9 \times \frac{30 \times 10^{-6}}{0.1} = 2.7 \times 10^6 \, V

Adım 2 — b) r = 10 \, cm = 0.1 \, m (küre yüzeyi)

  • Potansiyel:
    V = k \frac{Q}{r} = 9 \times 10^9 \times \frac{30 \times 10^{-6}}{0.1} = 2.7 \times 10^6 \, V
  • Elektrik alan:
    E = k \frac{Q}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{30 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 2.7 \times 10^7 \, \frac{V}{m}

Adım 3 — c) r = 15 \, cm = 0.15 \, m (küre dışı)

  • Potansiyel:
    V = k \frac{Q}{r} = 9 \times 10^9 \times \frac{30 \times 10^{-6}}{0.15} = 1.8 \times 10^6 \, V
  • Elektrik alan:
    E = k \frac{Q}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{30 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} = 1.2 \times 10^7 \, \frac{V}{m}

:white_check_mark: CEVAP:

r (cm) Elektrik Potansiyel V (Volt) Elektrik Alan E (Volt/metre)
5 2.7 \times 10^6 (İçi Sabit) 0
10 2.7 \times 10^6 2.7 \times 10^7
15 1.8 \times 10^6 1.2 \times 10^7

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

S.4. İçi boş küresel bir iletkenin yarıçapı 10 cm ve üzerindeki yük 30 μC ise merkezinden r = 5 cm, r = 10 cm ve r = 15 cm için elektriksel potansiyeli ve elektrik alanını hesaplayınız.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Coulomb sabiti: k=9\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}

  • İletkenin özelliği (iç boş küresel iletken): İç bölgede elektrik alan sıfırdır ve potansiyel yüzey potansiyeline eşittir.

    E(r<R)=0
    V(r<R)=V(R)=k\frac{Q}{R}

  • Dış bölge için:

    E(r\ge R)=k\frac{Q}{r^{2}}
    V(r\ge R)=k\frac{Q}{r}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenler ve birimleri

Q=30\ \mu\mathrm{C}=30\times10^{-6}\ \mathrm{C}
R=10\ \mathrm{cm}=0{.}10\ \mathrm{m}
k=9\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}

Adım 2 — r=5 cm (iç bölge, r<R)

Tanım: İç bölge için E=0 ve V=V(R)=k\frac{Q}{R}.

r=5\ \mathrm{cm}=0{.}05\ \mathrm{m}
V = k\frac{Q}{R}
= \frac{9\times10^{9}\times 30\times10^{-6}}{0{.}10}
= \frac{270000}{0{.}10}
= 2{.}7\times10^{6}\ \mathrm{V}
E = 0\ \mathrm{N/C}

Adım 3 — r=10 cm (yüzey, r=R)

Tanım: Yüzeyde potansiyel V=k\frac{Q}{R}, alan E=k\frac{Q}{R^{2}}.

Potansiyel:

V = k\frac{Q}{R}
= \frac{9\times10^{9}\times 30\times10^{-6}}{0{.}10}
= 2{.}7\times10^{6}\ \mathrm{V}

Elektrik alan:

E = k\frac{Q}{R^{2}}
= \frac{9\times10^{9}\times 30\times10^{-6}}{(0{.}10)^{2}}
= \frac{270000}{0{.}01}
= 2{.}7\times10^{7}\ \mathrm{N/C}

(Yön: radyal olarak dışarı doğru)

Adım 4 — r=15 cm (dış bölge, r>R)

Tanım: Dış bölgede V=k\frac{Q}{r} ve E=k\frac{Q}{r^{2}}.

Potansiyel:

r=15\ \mathrm{cm}=0{.}15\ \mathrm{m}
V = k\frac{Q}{r}
= \frac{9\times10^{9}\times 30\times10^{-6}}{0{.}15}
= \frac{270000}{0{.}15}
= 1{.}8\times10^{6}\ \mathrm{V}

Elektrik alan:

E = k\frac{Q}{r^{2}}
= \frac{9\times10^{9}\times 30\times10^{-6}}{(0{.}15)^{2}}
= \frac{270000}{0{.}0225}
= 1{.}2\times10^{7}\ \mathrm{N/C}

(Yön: radyal olarak dışarı doğru)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • r = 5 cm:

    • Potansiyel: V=2{.}7\times10^{6}\ \mathrm{V}
    • Elektrik alan: E=0\ \mathrm{N/C}

  • r = 10 cm:

    • Potansiyel: V=2{.}7\times10^{6}\ \mathrm{V}
    • Elektrik alan: E=2{.}7\times10^{7}\ \mathrm{N/C} (dışa doğru)

  • r = 15 cm:

    • Potansiyel: V=1{.}8\times10^{6}\ \mathrm{V}
    • Elektrik alan: E=1{.}2\times10^{7}\ \mathrm{N/C} (dışa doğru)
      ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. İletkenin içindeki elektrik alan

    • Tanım: İdeal bir iletkenin dengedeki iç bölgesinde elektrik alan sıfırdır.
    • Bu problemde: r < R için E = 0.

  2. Potansiyelin sürekliliği

    • Tanım: Potansiyel iletken yüzeyinde sabittir ve iç bölgede yüzey potansiyeline eşittir.
    • Bu problemde: İç ve yüzey için V = kQ/R.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Alanı içeride sıfır saymayıp kQ/r^2 formülünü r<R için uygulamak

  • Yanlış: İç bölgede E=kQ/r^{2} kullanmak.
  • Doğru: İç bölgede E=0.
  • Neden yanlış: Yüke iletken yüzeyinde bulunduğundan iç bölgede net gauss akısı sıfırdır.
  • Düzeltme: r<R için E=0, potansiyel ise yüzey potansiyaline eşittir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?