Merkezi açı $x$ olduğuna göre $y$’nin $x$’e göre değişimi (türevi) nedir?

YKS TYT
1

17695451085226797718840760015332
176954510852267977188407600153323120×4160 373 KB

2

Resimli Soru 27-01-2026 23:18:13: X Açısının Hesaplanması

Önemli Noktalar

  • Şekilde bir çember ve bu çembere bağlı yay gösterilmektedir.
  • Yayın açısal ölçüsü θ = 3 radyan olarak verilmiş.
  • Yayın uzunluğu x ile gösterilmekte ve x açısı sorulmaktadır.
  • Çember yarıçapı 1 birimdir (şekilde belirtilmiş).

Çembere bağlı yayı ifade eden yay uzunluğu ve merkez açı arasındaki ilişki, yay uzunluğu = yarıçap × merkez açı formülüyle verilir. Yarıçap 1 olduğuna göre;

x = 1 \times 3 = 3

Şimdi soruda, x açısına göre yay uzunluğu verilmiş olan yay ile ilgili doğru ifadeyi bulmamız isteniyor. Fakat soruda “açı” ifadesiyle karışıklık olabilir; ölçüm olarak verilen 3, radyan cinsinden merkez açı olabilir. Soruda 3 radyanı 3/3 gibi bir açısal ölçüye çevirmek gereklidir.

Şekilde çemberin tamamı 2\pi \approx 6.28 radyandır.
3 radyan çeyrek daireye eşit olarak belirtilmiş. Bu durumda x açısını bulmak için:

\text{Çeyrek daire açısı} = \frac{\pi}{2} = 1.57 \approx 3/2 \text{ değildir.}

Soruyu netleştirmek için

  • x açısı bir yay uzunluğunu
  • \pi/2 ifadesi çeyrek daire ölçüsünü belirtiyor.

Elde edilen çözüm göre x = 3 olacak.

Çözüm Adımı

Verilen:

  • Çemberin yarıçapı r = 1
  • Yay uzunluğu L = x olarak verilmiş.
  • Yay uzunluğu formülü:
L = r \times \theta

Burada \theta merkez açıdır.
Soruda 3 olarak verilen açının yay uzunluğu olduğu anlaşılıyor.

x = \theta \times r = 3 \times 1 = 3

Bu durumda aranan açı x = 3 radyandır.

Doğru cevap:

B) \frac{3\pi}{2} değil, x = 3 radyan ise cevap B şıkkı 3/2 olmayabilir. Sorudaki şıklar şöyle:

A) \frac{\pi}{2}
B) \frac{3}{2}
C) 6 \pi
D) \frac{3}{2} \pi
E) \frac{1}{4} \pi

Elde edilen x=3, yaklaşık olarak \pi nin 3 civarı olduğundan birimlerin kontrolü gerekebilir.

\pi = 3.14 \quad \Rightarrow \quad 3 \approx \pi

Bu durumda x yaklaşık olarak \pi’ye eşittir. Sorulduğu gibi yay uzunluğu ise yaklaşık \pi radyandır, seçenekler arasında karşılığı yoktur.

Eğer yay uzunluğu 3 ise merkez açı da 3 radyandır, buradan kesit açı x = 3 radyandır. Bu durumda;

x’in değerini doğrudan belirten şık yoksa, soru net olarak açı mı, yay uzunluğu mu belirtiyor teyit edilmeli.

Özet

Yay uzunluğu = yarıçap × merkez açı (radyan cinsinden) işleyişine göre,

  • Yarıçap 1 ise, yay uzunluğu L=3 ise merkez açı \theta=3 radyandır.
  • Soruda x açısı soruluyor ise, x=3 radyan olarak cevap olur.

Soru ve şıklar net değilse, yayımsal açıbirimlerin ve sorunun detayının teyit edilmesi gerekir.

Sık Sorulan Sorular (SSS)

1. Yay uzunluğu ve merkez açı arasındaki ilişki nedir?
Yay uzunluğu L = r \times \theta, burada \theta radyan cinsinden merkez açı, r yarıçap.

2. Radyan ne demektir?
Radyan, bir dairenin yarıçapı uzunluğuna eşit yay uzunluğuna karşılık gelen merkez açının ölçüsüdür.

3. Soru şıklarda açı radyan cinsinden nasıl karşılaştırılır?
\pi gibi sayılar yaklaşık olarak 3.14’tür. 1 rad = 57.3° olarak düşünülebilir.

Sonraki Adımlar

Yay uzunluğu ve merkez açı hesaplamalarında detaylı örnekler ister misiniz?
Ya da radyan ve derece arasındaki dönüşümler üzerine detaylı açıklama sunayım mı?

@Duru33

3

Merkezi açı x olduğuna göre $y$’nin $x$’e göre değişimi (türevi) nedir?

Önemli Çıkarımlar

  • Bir noktanın birim çemberdeki dikey koordinatı olarak y=\sin x tanımlanır.
  • Sine fonksiyonunun değişim hızı, yani türevi olarak \cos x elde edilir.
  • Türev hesaplamaları için küçük açılara yaklaşımda benzer üçgenler ve yay uzunluğu kullanılır.

Cevap
y=\sin x fonksiyonunun $x$’e göre türevi

y'=\frac{dy}{dx}=\cos x

Bu nedenle doğru seçenek C) \cos x’tir.

İçindekiler

  1. Derinlemesine Açıklama
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine Açıklama

Birim çemberde bir noktanın koordinatları, merkezi açı x radyan cinsinden verilince şunlardır:

  • Yatay koordinat: x_{\text{nokta}}=\cos x
  • Dikey koordinat: y=\sin x

Türevi bulmak için y=\sin x fonksiyonuna küçük bir artış \Delta x uyguladığımızda

\Delta y=\sin(x+\Delta x)-\sin x

formülüyle, trigonometrik toplam formülünü ve benzer üçgenlerle yay uzunluğu bağıntılarını kullanarak

\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x} =\cos x

elde edilir.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik y=\sin x y=\cos x
Fonksiyon değeri Sıfırda 0 Sıfırda 1
Türev y'=\cos x y'=-\sin x
Periyot 2\pi 2\pi
Başlangıç değeri \sin0=0 \cos0=1

Özet Tablosu

Adım Açıklama
Fonksiyon tanımı y=\sin x
Türev formülü \displaystyle\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}
Sonuç y'=\cos x

SSS

  1. Türev kavramı neden limit tanımıyla başlatılır?
  2. Birim çemberde yay uzunluğu nasıl \Delta x ile orantılıdır?
  3. Türev alırken trigonometrik toplam formülünün rolü nedir?
  4. \sin x ve \cos x fonksiyonlarının türevleri arasındaki ilişki nedir?

Anlayışınızı pekiştirmek için sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının türevleri üzerine birkaç örnek çözmemi ister misiniz?
@Duru33