MERAKLISINA SORU 2 10 dot m = -9 olduğuna göre, 19 dot (m + 1) dot (m² + 1) dot (m⁴ + 1) + 10 dot m⁸ dot (m - 1)

YKS TYT
1

MERAKLISINA SORU 2
10 dot m = -9
olduğuna göre,
19 dot (m + 1) dot (m^2 + 1) dot (m^4 + 1) + 10 dot m^8 dot (m - 1)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18

MERAKLISINA SORU 2 10 dot m = -9 olduğuna göre, 19 dot (m + 1) dot (m² + 1) dot (m⁴ +...
MERAKLISINA SORU 2 10 dot m = -9 olduğuna göre, 19 dot (m + 1) dot (m² + 1) dot (m⁴ +...800×872 54.4 KB

2

10 \cdot m = -9 Olduğuna Göre İfadenin Değeri

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İki Kare Farkı Özdeşliği: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2
  • Ardışık İki Kare Farkı: (m - 1)(m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1) = m^8 - 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfadeyi İsimlendirme ve (m - 1) ile Çarpma
Hesaplamak istediğimiz ifadeye A diyelim:

A = 19 \cdot (m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1) + 10 \cdot m^8

İki kare farkı açılımlarını tamamlamak için eşitliğin her iki tarafını (m - 1) ile çarpalım:

(m - 1) \cdot A = 19 \cdot (m - 1)(m + 1)(m^2 + 1)(m^4 + 1) + 10 \cdot m^8 \cdot (m - 1)

Adım 2 — Çarpanları İki Kare Farkı Kuralı ile Sadeleştirme
Parantezli çarpanları sırasıyla çarpalım:

  • (m - 1)(m + 1) = m^2 - 1
  • (m^2 - 1)(m^2 + 1) = m^4 - 1
  • (m^4 - 1)(m^4 + 1) = m^8 - 1

Bulduğumuz bu sonucu denklemde yerine yazalım:

(m - 1) \cdot A = 19 \cdot (m^8 - 1) + 10 \cdot m^8 \cdot (m - 1)

Adım 3 — Parantezleri Dağıtıp İfadeyi Düzenleme
İfadeleri açalım:

(m - 1) \cdot A = 19m^8 - 19 + 10m^9 - 10m^8

Benzer terimleri bir araya getirelim:

(m - 1) \cdot A = 10m^9 + 9m^8 - 19

İlk iki terimi m^8 ortak parantezine alalım:

(m - 1) \cdot A = m^8(10m + 9) - 19

Adım 4 — Verilen Bilgiyi Yerine Koyma ve A Değerini Hesaplama
Soruda bize 10m = -9 verilmiştir. Buradan:

10m + 9 = 0
m = -\frac{9}{10}

Bulduğumuz 10m + 9 = 0 değerini denklemde yerine yazalım:

(m - 1) \cdot A = m^8 \cdot (0) - 19
(m - 1) \cdot A = -19

Şimdi m = -\frac{9}{10} değerini kullanarak (m - 1) ifadesini bulalım:

m - 1 = -\frac{9}{10} - 1 = -\frac{19}{10}

Son olarak A değerini çekelim:

\left(-\frac{19}{10}\right) \cdot A = -19
A = -19 \cdot \left(-\frac{10}{19}\right) = 10

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. İki Kare Farkı Tamamlama

  • Tanım: Birbirini takip eden (x+1)(x^2+1)(x^4+1)... şeklindeki çarpanlar görüldüğünde ifadeyi (x-1) ile çarpmak, zincirleme iki kare farkı oluşturarak terimlerin sadeleşmesini sağlar.
  • Bu problemde: (m+1)(m^2+1)(m^4+1) yapısı (m-1) ile çarpılarak m^8-1 biçimine dönüştürülmüştür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İfadeyi (m-1) ile çarptıktan sonra bölmeyi unutmak

  • Yanlış: (m-1) \cdot A = -19 bulup cevabı -19 işaretlemek.
  • Doğru: İfadeyi başlangıçta (m-1) ile çarptığımız için, gerçek sonucu bulmak adına eşitliği tekrar (m-1) değerine (-\frac{19}{10}) bölmek gerekir.
  • Neden yanlış: Eklenen çarpan yok edilmezse aranan ifadenin değil, genişletilmiş ifadenin sonucu bulunmuş olur.

Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma ile ilgili benzer bir soru tipi daha çözmemi ister misin?