Soru:
Bir veri grubunda sıralı tam sayılar verilmiş durumda ve bu grubun açıklığı ile medyanı eşit. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm
1. Kavramları Anlama
-
Medyan (Ortanca):
Bir veri grubundaki sayıların sıralı hâlinde:- Veri sayısı tek ise, ortadaki sayı medyan olur.
- Veri sayısı çift ise, ortadaki iki sayının aritmetik ortalaması medyanı verir.
-
Açıklık:
En büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki farktır:\text{Açıklık} = \text{En Büyük} - \text{En Küçük}
2. Problem Bilgilerini Kullanma
Veri grubu:
Bu veri grubunda:
- En büyük sayı: a + 10
- En küçük sayı: 16 - a
- Açıklık:\text{Açıklık} = (a + 10) - (16 - a) = a + 10 - 16 + a = 2a - 6
Grup küçükten büyüğe sıralandığı için sıradaki medyanı belirleriz:
- Grup 7 sayıdan oluştuğu için medyan tek bir sayı olur ve ortadaki sayı medyan olur.
- Veri grubundaki sıralamaya göre:
3. Medyan = Açıklık Olduğuna Göre Denklem Kurma
Verilen bilgiye göre, medyan açıklık ile eşittir:
Bu denklemi çözerek a değeri bulunur:
4. Diğer Değerleri Bulma
- b: Veri grubu sıralı hâlde, önceki verilere göre 9 zaten grup içinde belirtilmiş (değeri: b = 9).
- c: Veri grubu sıralamaya göre, sonuncu elemanın (a değerine bağlı olarak) sıralamada yer alması durumunda:c = 17
5. Toplamı Hesaplama
Özet Tablo
| Değer | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Açıklık | 2a - 6 | 18 - 6 = 12 |
| Medyan | a + 3 | 9 + 3 = 12 |
| Toplam | a + b + c | 35 |
Cevap:
D) 35
Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında 7 elemanlı ve birbirinden farklı tam sayılardan oluşan dizi şöyle verilmiştir: 16 – a, b, 9, a + 3, 17, c, a + 10. Bu dizinin açıklığı (en büyük ile en küçük sayı farkı) medyanına (ortanca değer) eşittir. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
İçindekiler
- Kavramların Tanımı
- Verilen Bilgiler ve Sıralama
- Medyan ve Açıklık İlişkisi
- Adım Adım Çözüm
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Kavramların Tanımı
- Medyan (Ortanca): Veriler küçükten büyüğe sıralandığında, tek sayıda veri olduğunda ortadaki elemandır.
- Açıklık: En büyük değer (maksimum) ile en küçük değer (minimum) arasındaki farktır.
- Sıralı veri: Veriler, küçükten büyüğe doğru ardışık şekilde dizilmiştir.
2. Verilen Bilgiler ve Sıralama
Veri grubumuz 7 elemandan oluşuyor (7 farkı tam sayı):
- 16 – a
- b
- 9
- a + 3 (medyan olacak)
- 17
- c
- a + 10
Veri sayısı 7 olup tek olduğu için medyan (ortanca) 4. elemandır, yani a + 3.
3. Medyan ve Açıklık İlişkisi
- Medyan = 4. eleman = a + 3
- Açıklık = (En büyük değer) – (En küçük değer) = (a + 10) – (16 – a)
Soruya göre açıklık medyana eşit:
Dolayısıyla:
4. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Denklemi Çözme
Açıklık ifadesini düzenleyelim:
$
(a + 10) - (16 - a) = a + 10 - 16 + a = 2a - 6
$
Bu değerin a + 3’e eşit olduğu söyleniyor, öyleyse:
$
2a - 6 = a + 3
$
$
2a - a = 3 + 6
$
$
a = 9
$
Öyleyse a = 9 bulunur.
Adım 2: Değerleri Yerleştirme
a = 9 olduğu için dizideki terimleri hesaplayalım:
- 16 – a = 16 – 9 = 7
- a + 3 = 9 + 3 = 12
- a + 10 = 9 + 10 = 19
Böylece veri seti:
- 7
- b
- 9
- 12 (medyan)
- 17
- c
- 19
Adım 3: Sıralama Koşullarını Sağlama
Dizi 7 < b < 9 < 12 < 17 < c < 19 şeklinde sıralanmıştır.
- b, 7’den büyük ve 9’dan küçüktür. Bütün sayılar tam ve birbirinden farklı olduğu için b = 8 olmalıdır (8 tek olası tam değer).
- c, 17’den büyük ve 19’dan küçüktür. Yine tam sayı ve farklı olması gerektiği için c = 18 seçilir.
Adım 4: a + b + c Toplamı
- a = 9
- b = 8
- c = 18
$
a + b + c = 9 + 8 + 18 = **35
$
5. Özet Tablo
| Eleman Sırası | Değer | İşlem veya Şart |
|---|---|---|
| 1 | 16 - a = 7 | a = 9 ile bulunur |
| 2 | b = 8 | (7 < b < 9) ⇒ b = 8 |
| 3 | 9 | Veride sabit verilmiştir |
| 4 | a + 3 = 12 | Medyan, a=9’dan geliyor |
| 5 | 17 | Veride sabit verilmiştir |
| 6 | c = 18 | (17 < c < 19) ⇒ c = 18 |
| 7 | a + 10 = 19 | a=9’dan geliyor |
| Toplam | a + b + c | 9 + 8 + 18 = 35 |
6. Sonuç ve Kısa Özet
Bu problemde, açıklık ve medyan kavramları birleştirilerek bilinmeyen a, b ve c tam sayı değerleri bulunmuştur. Verileri küçükten büyüğe doğru sıralama koşulu, tek sayıda eleman olduğunda medyanın ortadaki eleman olması ve açıklığın en büyük ile en küçük değer farkından oluşmasıyla birlikte, a = 9, b = 8 ve c = 18 değerleri elde edilmiştir. Sonuçta:
a + b + c = 35
Böylece sorunun cevabı 35 olarak bulunur.