MEB matematik

Sorunun cevabını detaylı bir şekilde anlatır mısın @sorumatikbot

Verilen İfade ve Çözüm

Cevap:

Verilen ifade:
[
\left( \frac{\cos \alpha}{1 + \tan \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cot \alpha} \right) \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)
]

Bu ifadenin tanımlı olduğu aralıkta en sade halini bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim.

Çözüm Adımları:

  1. İlk Terimi Sadeleştirmek:

    • Fazla karmaşık görünen ifadelerin basit hale getirilmesi amacıyla ilkiyle başlayalım.

    [
    \frac{\cos \alpha}{1 + \tan \alpha} = \frac{\cos \alpha}{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}
    ]

  2. İkinci Terimi Sadeleştirmek:

    • Aynı şekilde diğer terimi de sadeleştirelim.

    [
    \frac{\sin \alpha}{1 + \cot \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}
    ]

  3. İki Terimin Toplamı:

    • İki terimi topladığımızda:

    [
    \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}
    ]

    Bilindiği üzere (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1), bu nedenle:

    [
    \frac{1}{\cos \alpha + \sin \alpha}
    ]

  4. Son İfade:

    • Şimdi bu sonucu ((\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)) ile çarpalım.

    [
    \frac{1}{\cos \alpha + \sin \alpha} \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}
    ]

  5. Sonuç:

    • Tanımlı olduğu aralık (\cos \alpha + \sin \alpha \neq 0) koşulu ile (\alpha \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}), (k \in \mathbb{Z}).
    • Bu nedenle, sadeleşmiş hal:

    [
    \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}
    ]

Sonuç olarak, ifadenin en sade hali (\boxed{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}}) olur.

Selamün aleyküm, kosinüs ün karesi eksi sinüs ün karesi bölü sinüs artı kosinüs ün en sade hâli için yukarıdaki terimi parantez içinde kosinüs eksi sinüs çarpı parantez içerisinde kosinüs artı sinüs olarak yazıp sinüs artı kosinüs ile payda daki sinüs artı kosinüs ü sadeleştirsek ve cevabı kosinüs eksi sinüs bulmuş olmaz mıyız? @sorumatikbot

Kosinüsün Karesi Eksi Sinüsün Karesi Üzerine Sadeleştirme

Cevap:

Evet, doğru bir yaklaşımda bulunuyorsunuz. İfade:

[
\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}
]

Bu ifadeyi fark iki kare özdeşliğine göre yeniden yazabiliriz:

[
\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)
]

Bu durumu kullanarak, verilen ifade:

[
\frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)}{\cos \alpha + \sin \alpha}
]

Bu noktada pay ve paydadaki ((\cos \alpha + \sin \alpha)) terimi sadeleşir. Böylece geriye şu kalır:

[
\cos \alpha - \sin \alpha
]

Dolayısıyla, ifade (\boxed{\cos \alpha - \sin \alpha}) olarak sadeleşir. İşte bu, doğru ve geçerli bir sadeleştirme işlemidir. Tanım kümesini unutmamak gerek; (\cos \alpha + \sin \alpha \neq 0) şartını sağlar.

İşlemleri Türkçe yazar mısın? Mesela + olacağı zaman " artı" yaz. Eksi olacağı zaman “eksi” yaz. @sorumatikbot

Tabii, işlemleri istediğiniz şekilde yazabilirim.

Kosinüsün Karesi Eksi Sinüsün Karesi Üzerine Sadeleştirme

Cevap:

Verilen ifade:

[
\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}
]

Bu ifadeyi “fark iki kare” özdeşliğine göre şöyle yazabiliriz:

[
\cos^2 \alpha eksi \sin^2 \alpha = (\cos \alpha artı \sin \alpha)(\cos \alpha eksi \sin \alpha)
]

Bu durumu kullanarak, ifadeyi tekrar düzenleyelim:

[
\frac{(\cos \alpha artı \sin \alpha)(\cos \alpha eksi \sin \alpha)}{\cos \alpha artı \sin \alpha}
]

Buradan, pay ve paydada bulunan ((\cos \alpha artı \sin \alpha)) terimleri sadeleşir. Geriye şu kalır:

[
\cos \alpha eksi \sin \alpha
]

Sonuç olarak, ifade (\boxed{\cos \alpha eksi \sin \alpha}) olarak sadeleşir. Tanım kümesini de unutmamak gerekir; (\cos \alpha artı \sin \alpha) sıfır olmamalı.

Frac kelimesini de Türkçeye çevrilmiş yaz @sorumatikbot

Tabii, işlemleri tamamen Türkçe olarak yazalım:

Kosinüsün Karesi Eksi Sinüsün Karesi Üzerine Sadeleştirme

Cevap:

Verilen ifade:

[
\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}
]

Bu ifadeyi “fark iki kare” özdeşliğine göre şöyle yazabiliriz:

“Kosinüs kare alfa eksi sinüs kare alfa eşittir” ifadesini parantez içinde “kosinüs alfa artı sinüs alfa” çarpı parantez içinde “kosinüs alfa eksi sinüs alfa” olarak yazabiliriz.

Bunu kullanarak ifadeyi düzenleyelim:

Bölü işaretinin yerine, “parantez içinde kosinüs alfa artı sinüs alfa çarpı parantez içinde kosinüs alfa eksi sinüs alfa” bölü parantez içinde kosinüs alfa artı sinüs alfa şeklinde yazabiliriz.

Bu durumda, pay ve paydada bulunan “kosinüs alfa artı sinüs alfa” terimleri sadeleşir ve geriye şu kalır:

“Kosinüs alfa eksi sinüs alfa”

Sonuç olarak, ifade (\boxed{\text{kosinüs alfa eksi sinüs alfa}}) olarak sadeleşir. Ayrıca, tanım kümesini de unutmamak gerekir; kosinüs alfa artı sinüs alfa sıfır olmamalıdır.