.Mavi renkli daire diliminde yazan sayılar, kendisine komşu olan iki daire diliminde yazan sayıların EBOBlarıdır

Maths Question
1

4 Şekilde verilen daire 8 eş dilime ayrıimiştır. Bu daire dilimleri ile lgili aşağıdaki bllgiler verimiştr.
A) 108
16
B) 128
12
80
20
.Mavi renkli daire diliminde yazan sayılar, kendisine komşu olan iki daire diliminde yazan sayıların EBOBlarıdır.
Buna göre A, B ve C ile gösterilen sayıların toplamy én az kaçtır?
C) 144
TLLEME T25
D) 156

4 Şekilde verilen daire 8 eş dilime ayrıimiştır.
4 Şekilde verilen daire 8 eş dilime ayrıimiştır.1024×502 56.5 KB

2

Aşağıda problemin adım adım ve gerekçeli çözümü yer almaktadır.

Daire Dilimlerinde EBOB Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \text{EBOB}(x, y) = d \implies d \mid x \text{ ve } d \mid y (Yani x ve y sayıları d’nin birer tam katı olmalıdır.)
  • Bir sayının alabileceği en küçük pozitif değer, kendisini bölen sayıların en küçük ortak katı (\text{EKOK}) üzerinden belirlenir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Daire Dilimlerinin Düzenini Belirleme
Şekildeki daire 8 eş dilime ayrılmıştır. Dilimler ardışık olarak bir mavi, bir beyaz şeklinde sıralanmıştır:

  • Beyaz dilimlerde sayılar: 80, A, B, C
  • Mavi dilimlerde yazan sayılar ise komşusu olan iki beyaz dilimdeki sayıların \text{EBOB}'udur.
  • Şekil saat yönünde incelendiğinde ardışık dilimler:
    80 \longrightarrow [16] \longrightarrow A \longrightarrow [12] \longrightarrow B \longrightarrow [20] \longrightarrow C \longrightarrow [?] \dots
    Burada verilen mavi dilimler komşu iki beyaz dilimin EBOB değerleridir:
    1. \text{EBOB}(80, A) = 16
    2. \text{EBOB}(A, B) = 12
    3. \text{EBOB}(B, C) = 20
    4. C ile 80’in ortak böleni olan dördüncü mavi dilim ise bu değerlerle uyumlu bir tam bölen oluşturur.

Adım 2 — A Sayısının En Küçük Değerini Bulma

  • A sayısı hem 16’nın hem de 12’nin bir katı olmalıdır:
    \text{EKOK}(16, 12) = 48
  • A = 48 seçilirse:
    • \text{EBOB}(80, 48) = 16 koşulu sağlanır (çünkü 80 = 16 \times 5, 48 = 16 \times 3 ve \text{EBOB}(5, 3) = 1).
    • \text{EBOB}(48, B) için 12’nin katı olma kuralı geçerlidir.
  • Dolayısıyla A’nın alabileceği en küçük değer:
    A = 48

Adım 3 — B Sayısının En Küçük Değerini Bulma

  • B sayısı hem 12’nin hem de 20’nin bir katı olmalıdır:
    \text{EKOK}(12, 20) = 60
  • B = 60 seçilirse:
    • \text{EBOB}(A, B) = \text{EBOB}(48, 60) = 12 koşulu sağlanır (48 = 12 \times 4, 60 = 12 \times 5 ve \text{EBOB}(4, 5) = 1).
    • \text{EBOB}(B, C) için 20’nin katı olma kuralı geçerlidir.
  • Dolayısıyla B’nin alabileceği en küçük değer:
    B = 60

Adım 4 — C Sayısının En Küçük Değerini Bulma

  • C sayısı 20’nin bir katı olmalıdır.
  • C’nin en küçük pozitif katı kendisi, yani 20’dir:
    • C = 20 seçilirse:
    \text{EBOB}(B, C) = \text{EBOB}(60, 20) = 20
    koşulu tam olarak sağlanır.
  • Dolayısıyla C’nin alabileceği en küçük değer:
    C = 20

Adım 5 — Toplamı Hesaplama

A + B + C = 48 + 60 + 20 = 128

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 128
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Komşu dilimlerin EBOB’u verildiğinde, aradaki sayı bu iki EBOB değerinin en küçük ortak katı (\text{EKOK}) veya onun uygun bir katı olmak zorundadır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: A sayısını bulurken yalnızca \text{EKOK}(16, 12) = 48 alıp \text{EBOB}(80, 48)'in gerçekten 16 verip vermediğini kontrol etmemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Bulunan katın komşu sayıyla olan EBOB’unun daha büyük bir ortak bölen üretmediğini (80 ile 48’in EBOB’unun 16 olduğunu) doğrulamak.

Benzer bir EBOB-EKOK dairesel yerleştirme sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?