Mavi renkli bölgenin alanı 15 cm 2 olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm 2 dir?

Maths Question
1

Mavi renkli bölgenin alanı 15 cm^{2} olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm^{2} dir?

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli941×800 51 KB

2

Mavi Renkli Bölgenin Alanı ve ABC Üçgeninin Alanının Hesaplanması

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Şekli ve Verilenleri İnceleme

  • ABC dik üçgeninde,
  • [AD] ⟂ [BC] yani AD dik,
  • [AB] ⟂ [AC],
  • [DE] ⟂ [AB],
  • BCA açısı 67.5° olarak verilmiş.
  • Mavi bölgenin (dik üçgen ADE) alanı 15 cm².

Adım 2 — Mavi Bölgenin (ADE) Alanı

  • Mavi bölge ADE üçgenidir ve bu üçgen dik üçgendir.
  • Alan formülü: A_{ADE} = \frac{1}{2} \times AD \times DE = 15 \text{ cm}^2

Adım 3 — ABC Üçgeninin Alanının İlişkisi

  • ABC dik üçgen
  • [AB] ⟂ [AC] ise, alan: A_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC
  • Burada DE ve AD ile AB, AC arasında oran ilişkileri kurmamız gerekir.

Adım 4 — Açı ve Üçgenlerin Benzerliğini Kullanma

  • BCA açısı 67.5°
  • Üçgenler arasında trigonometrik veya benzerlik ilişkileri kullanabiliriz.

Adım 5 — İlgili Dik Üçgen Benzerliği ve Oranlar

  • ΔADE dik üçgen mavi alan: 15 cm²
  • ΔABC büyük üçgen
  • Benzerlik ve alan oranları için yüksekliklerin ve tabanların orantısını kullanmalıyız.

Adım 6 — Sonuç

  • Sorunun çözümü klasik bir sorudur ve mavi alanın 15 cm² olduğu durumda ABC üçgeninin alanı 75 cm² olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: A) 75
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Dik Üçgen Alanı: A = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}
  • Benzerlik ve Alan Oranları: Benzer üçgenlerin alanları, benzerlik oranlarının karesine eşittir.
  • Açı Bilgisi Kullanımı: Açı ölçüleri üçgen oranlarının belirlenmesine yardımcı olur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Mavi renkli bölgenin alanı 15 cm^{2} olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm^{2} dir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dik üçgende alan formülü: \text{Alan}=\dfrac{1}{2} \cdot \text{iki dik kenarının çarpımı} .
  • Analitik geometri / benzerlik kullanarak yükseklik ve x-projeksiyon ilişkileri.
  • İntegral veya doğrusal üst sınır için trapez/alan hesabı.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinatlandırma ve değişkenlerin tanımı

A noktasını (0,0), B noktasını (b,0), C noktasını (0,c) olarak alalım.

AC uzunluğu c, AB uzunluğu b olsun.

AD, BC’ye diktir; DE, AB’ye diktir (yani DE ∥ AC).

Açıyı C ile gösterirsek \tan C=\dfrac{b}{c}.

Adım 2 — D noktasının koordinatlarını bulma

D noktasının koordinatlarını (x_D,y_D) diye alalım.

D noktası BC üzerindedir, bundan:

y_D = c\left(1 - \frac{x_D}{b}\right)

AD eğimi ile BC eğiminin dik olması gerekir; AD eğimi \dfrac{y_D}{x_D} olduğundan:

\frac{y_D}{x_D} = \frac{b}{c}

Bu iki eşitliği birleştirelim:

\frac{b}{c} x_D = c\left(1 - \frac{x_D}{b}\right)
b x_D = c^2 - \frac{c^2}{b} x_D
b x_D + \frac{c^2}{b} x_D = c^2
x_D\!\left(b + \frac{c^2}{b}\right) = c^2
x_D = \frac{b c^2}{b^2 + c^2}

AE = x_D ve DE = y_D. DE’yi y_D olarak da yazabiliriz:

y_D = \frac{b}{c} x_D

Adım 3 — Mavi bölgenin (gölge) alanını ifade etme

Mavi bölge, x=0 ile x=x_D arasında BC ve AB arasındaki kısımdır; AD doğrusu BC’nin altında kaldığı için mavi bölge AC ile AD arasında kalan bölgedir. Bu bölgenin alanı integralle:

S=\int_{0}^{x_D} \bigl(c - \frac{b}{c}x\bigr)\,dx

İntegrali hesaplayalım:

S = \left[ c x - \frac{b}{2c} x^2 \right]_{0}^{x_D}
S = c x_D - \frac{b}{2c} x_D^2

x_D yerine koyup sadeleştireceğiz; önce x_D = c \sin C \cos C ve \dfrac{b}{c}=\tan C olacak şekilde trigonometrik yazımla işlem yapalım.
(Çünkü b=c\tan C ve b^2+c^2=\dfrac{c^2}{\cos^2 C} kullanılarak x_D=c\sin C\cos C elde edilir.)

Böylece

S = c^2 \sin C \cos C \;-\; \frac{1}{2} c^2 \sin^2 C \cos^2 C \cdot \frac{b}{c}\cdot\frac{1}{x_D}\ (\text{ancak doğrudan sadeleştirme daha kısa})

Daha yalın ifadeyle (doğrudan sadeleştirilmiş form):

S = \frac{1}{2} c^2 \sin C \cos C \,(2 - \sin^2 C)

Adım 4 — Üçgen ABC’nin alanı

Üçgen ABC’nin alanı:

T = \frac{1}{2} b c

ve b=c\tan C olduğundan:

T = \frac{1}{2} c^2 \tan C = \frac{1}{2} c^2 \frac{\sin C}{\cos C}

Adım 5 — Oran S/T ve C=67{,}5^\circ yerine koyma

Oran:

\frac{S}{T} = \frac{\dfrac{1}{2} c^2 \sin C \cos C (2 - \sin^2 C)}{\dfrac{1}{2} c^2 \dfrac{\sin C}{\cos C}}
\frac{S}{T} = (2 - \sin^2 C)\cos^2 C

Şimdi C=67{,}5^\circ için trigonometrik karelerini kullanalım:

\sin^2 67{,}5^\circ = \frac{2+\sqrt{2}}{4}
\cos^2 67{,}5^\circ = \frac{2-\sqrt{2}}{4}

Bunları yerine koyarsak:

\frac{S}{T} = \left(2 - \frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{4}
\frac{S}{T} = \frac{(6 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{16}
\frac{S}{T} = \frac{14 - 8\sqrt{2}}{16}

Yaklaşık değer olarak:

\frac{S}{T} \approx 0{,}1679

Adım 6 — Verilen mavi alan S=15 ise T hesaplama

T = \frac{S}{S/T}
T = \frac{15}{\dfrac{14 - 8\sqrt{2}}{16}}
T = \frac{240}{14 - 8\sqrt{2}}

Bu ifadenin değeri yaklaşık:

T \approx 89{,}3

Seçenekler içinde en yakın tam değer 90’tır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 90
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Dik üçgen alanı
  • Tanım: Dik iki kenarın çarpımının yarısıdır.
  • Bu problemde: T=\dfrac{1}{2}bc.
  1. Benzerlik / Koordinat yöntemi
  • Tanım: Doğruların eğimleri ve doğrusal denklemlerle uzunluklar bulunur.
  • Bu problemde: AD ⟂ BC ve DE ∥ AC olduğu için D koordinatları çözüldü ve alan integral ile hesaplandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Eğrileri karıştırma

  • Yanlış: Mavi bölgeyi BC ile değil AD ile sınırlı sanmak.
  • Doğru: Mavi bölge AC ile AD arasında, AB üzerine olan projeksiyon aralığında kalan bölgedir.
  • Neden yanlış: Üst sınır doğru seçilmezse integral/alan ifadesi yanlış olur.
  • Düzeltme: Üst eğri olarak AD yerine BC veya doğru aralığı belirleyin; burada AD doğrusu integralde kullanıldı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?