Mavi, kırmızı ve siyah kutuląra sirasiýla aşağıdaki <, >ves sembollerinden biri yazlarak üç eşitsizik elde edilecektir

Question Answer
1

TYT
mavi, kırmızı ve siyah kutuląra sirasiýla aşağıdaki
<, >ves sembollerinden biri yazlarak üç eşitsizik elde
edilecektir. Bir sembol birden fazla kutuya yazılabilnektedir.
2Y42
D-4
Buna göre 3x - 4y-z ifadesinin alabileceği
en kücük tam sayı değerinin bir rakam olmnası için
sembolerden hangileriyazlabilir?

TYT mavi, kırmızı ve siyah kutuląra sirasiýla aşağıdaki , ves sembollerinden biri...
TYT mavi, kırmızı ve siyah kutuląra sirasiýla aşağıdaki , ves sembollerinden biri...800×912 65.5 KB

2

Eşitsizlikler ve Aralık Kavramı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir ifadenin alabileceği en küçük değer aranırken; pozitif katsayılı terimler en küçük (alttan sınırlı), negatif katsayılı terimler ise en büyük (üstten sınırlı) seçilmelidir.
  • Bir eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:
    a < b \implies -k \cdot a > -k \cdot b \quad (k > 0)
  • Eşitsizlikler aynı yöne baktığında taraf tarafa toplanabilir:
    a > b \text{ ve } c \ge d \implies a + c > b + d
  • Rakamlar kümesi: \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenlerin Sınır Durumlarını Belirleme
3x - 4y - z ifadesinin en küçük tam sayı değerinin tanımlı (sınırlı) olabilmesi için ifadenin alttan sınırlı olması gerekir:

  • +3x teriminin en küçük değerini alabilmesi için x değişkeninin alttan sınırlı olması gerekir (x > 4). Bu nedenle mavi kutuya yalnızca > sembolü gelmelidir. (x < 4 veya x \le 4 olursa x \to -\infty olacağından ifadenin en küçük değeri var olamaz.)
  • -4y teriminin en küçük değerini alabilmesi için y’nin üstten sınırlı olması gerekir (y < 2 veya y \le 2).
  • -z teriminin en küçük değerini alabilmesi için z’nin üstten sınırlı olması gerekir (z < -4 veya z \le -4).

Bu ön koşula göre mavi kutu kesinlikle > olmalıdır. Bu durum B, C ve D seçeneklerini doğrudan eler.

Adım 2 — A ve E Seçeneklerini İnceleme

  • A Seçeneği için (>, <, \le):

    x > 4 \implies 3x > 12
    y < 2 \implies -4y > -8
    z \le -4 \implies -z \ge 4

    Taraf tarafa topladığımızda (en az bir eşitsizlik kesin büyüktür (>) olduğundan toplam da kesin büyük olur):

    3x - 4y - z > 12 + (-8) + 4
    3x - 4y - z > 8

    3x - 4y - z > 8 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri 9’dur.
    9 bir rakam olduğundan istenen koşul sağlanır.

  • E Seçeneği için (>, >, \le):
    Kırmızı kutuya > yazılırsa y > 2 elde edilir. Bu durumda -4y < -8 olur ve ifade alttan sınırsız hale gelerek -\infty’a yönelir; en küçük değer tanımlanamaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A — >,\ <,\ \le
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Eşitsizliklerin Taraf Tarafa Toplanması: Eşitsizliklerde çıkarma işlemi yapılamaz; negatif katsayılı ifadeler önce negatif sayı ile çarpılarak yön değiştirtilir, ardından taraf tarafa toplanır.
  • Açık ve Yarı Açık Aralıklar: Biri kesin (>), diğeri dahil (\ge) olan iki eşitsizlik toplandığında sonuç kesin (>) eşitsizlik olur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Soruda x, y, z için “tam sayı” denmediği halde x=5, y=1, z=-4 gibi doğrudan tam sayı değerleri vererek çözmeye çalışmak. Bu durum reel sayı aralıklarında hatalı alt/üst sınırlara yol açabilir.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: x, y, z reel sayı kabul edilip aralıklar oluşturulmalı ve taraf tarafa toplama yapılarak ifadenin değer aralığı üzerinden en küçük tam sayı bulunmalıdır.

Bu tür eşitsizlik sorularında değişkenlerin tam sayı mı yoksa reel sayı mı belirtildiğini kontrol etmekle ilgili benzer bir soru çözmek ister misin?