Bu kartonların her birinin kenar uzunlukları, santimetre cinsinden birer doğal sayıdır. Alanı en küçük olan sarı kartonun bir yüzünün alanı 48 cm^2 , en büyük olan kırmızı kartonun bir yüzünün alanı 96 cm^2 dir.
Mavi kartonun ardışık iki kenar uzunluğunun santimetre cinsinden değerleri, aralarında asaldır.
Buna göre şekildeki ABCD dikdörtgeninin çevre uzunluğu en az kaç santimetredir?
A) 54
B) 58
C) 60
D) 62
Çarpanlar ve Katlar: Dikdörtgende Çevre Uzunluğunu En Aza İndirme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Yan yana birleştirilen dikdörtgenlerin ortak kenarı (yükseklik), verilen alanların ortak böleni olmak zorundadır. Bir dikdörtgenin çevresi Ç = 2 \cdot (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) formülüyle hesaplanır ve çevrenin en küçük olması için kenar uzunlukları birbirine olabildiğince yakın seçilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ortak Kenarın Belirlenmesi ve Alan İlişkisi
Sarı, mavi ve kırmızı kartonlar yan yana getirilerek ABCD dikdörtgeni oluşturulduğundan üç kartonun da düşey kenar uzunluğu (yükseklik) eşittir. Bu ortak kenara h diyelim.
- Sarı kartonun alanı: h \cdot w_s = 48\text{ cm}^2
- Kırmızı kartonun alanı: h \cdot w_k = 96\text{ cm}^2
h uzunluğu hem 48’in hem de 96’nın bir doğal sayı böleni olmalıdır (h \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}).
Soruda alanı en küçük olanın sarı (48\text{ cm}^2), en büyük olanın kırmızı (96\text{ cm}^2) olduğu belirtildiğinden mavi kartonun alanı:
48 < h \cdot w_m < 96 \implies w_s < w_m < w_k
Adım 2 — ABCD Dikdörtgeninin Çevre İfadesi
ABCD dikdörtgeninin toplam genişliği W = w_s + w_m + w_k = \frac{48}{h} + w_m + \frac{96}{h} = \frac{144}{h} + w_m olur.
Çevre uzunluğu:
\text{Çevre} = 2 \cdot \left(h + \frac{144}{h} + w_m\right)
Toplamın en küçük olması için h + \frac{144}{h} ifadesini minimum yapan h = 12 değerini inceleriz:
- h = 12\text{ cm} için:
- Sarı kartonun yatay kenarı: w_s = \frac{48}{12} = 4\text{ cm}
- Kırmızı kartonun yatay kenarı: w_k = \frac{96}{12} = 8\text{ cm}
Adım 3 — Mavi Kartonun Kenar Uzunluğu ve Çevre Hesabı
Mavi kartonun yatay kenarı w_m, 4 < w_m < 8 aralığında bir doğal sayı olmalıdır (w_m \in \{5, 6, 7\}).
Ayrıca mavi kartonun ardışık iki kenarı (h = 12 ve w_m) aralarında asal olmalıdır:
- w_m = 5 seçilirse \text{EBOB}(12, 5) = 1 şartı sağlanır.
Buna göre en küçük çevre:
\text{Çevre} = 2 \cdot (12 + 4 + 5 + 8) = 2 \cdot 29 = 58\text{ cm}
CEVAP: B) 58 (Ç(ABCD) = 58\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çevreyi en aza indirmek için birbirine bağlı terimlerin toplamı (h + \frac{144}{h}) en küçük yapılmalıdır; bu da h = \sqrt{144} = 12 seçildiğinde elde edilir. “Aralarında asal” şartı unutulmamalı ve w_m = 6 elenerek en küçük uygun değer olan 5 alınmalıdır.