Mavi çubuk, santimetre cinsinden 60 ve 84 sayılarının EBOB’u uzunluğunda eş parçalara ayrılıyor. Sarı çubuk ise mavi parçaların uzunluğundan kısa olacak şekilde, uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olan en büyük eş parçalara ayrılıyor.
Mavi parçaların tamamı aralarında birer sarı parça olacak şekilde aşağıdaki gibi boşluk kalmadan ve üst üste gelmeden yerleştirilmiştir.
A) ------------------ B
Buna göre, A ile B noktaları arasındaki mesafe kaç santimetredir?
A) 88
B) 95
C) 102
D) 144
32. Sinan ve Fatih ellerinde bulunan malzemelerle görseldeki gibi 5’er metre uzunluğunda birer çit yapacaktır.
Yapılacak çitlerde kullanılacak özdeş dikey tahtaların uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olup 70 cm’den kısadır.
Sinan’ın Kullanacağı Malzemeler:
4 m
5 m
8 m
3 m
10 m
Buna göre, hiç parça artmadan ve parçalar uç uca eklenmeden yapılacak çitlerde kullanılan toplam dikey parça sayısı en az kaçtır?
A) 7
B) 9
C) 18
D) 36
Çarpanlar ve Katlar: EBOB ve Parçalama Problemleri
31. Soru Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB (En Büyük Ortak Bölen) denir. Bir bütünden eş parçalar elde edilirken parça uzunlukları, bütünün uzunluğunun bir çarpanı (böleni) olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Mavi Parçaların Uzunluğunu ve Sayısını Bulma
Mavi çubuk 60\text{ cm}, sarı çubuk 84\text{ cm} uzunluğundadır. Mavi parçalar, 60 ve 84’ün EBOB’u uzunluğunda olacaktır:
Adım 2 — Sarı Parçaların Uzunluğunu Belirleme
Sarı çubuk (84\text{ cm}), mavi parçaların boyundan (12\text{ cm}) daha kısa olacak şekilde, santimetre cinsinden en büyük tam sayı bölenine ayrılacaktır.
84’ün pozitif tam sayı bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, \mathbf{7}, 12, 14, 21, 28, 42, 84
12’den küçük en büyük çarpan 7\text{ cm}'dir:
Adım 3 — A ile B Arasındaki Mesafeyi Hesaplama
5 adet mavi parçanın tamamı, aralarında birer sarı parça olacak şekilde dizildiğinde:
- 5 adet mavi parça ve aralarında 5 - 1 = 4 adet sarı parça yer alır.
CEVAP: A) 88 (|AB| = 88\text{ cm})
32. Soru Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Parçalar uç uca eklenemeyeceği için her yatay kiriş tek bir parçadan kesilmelidir. Kalan parçaların hiç artmadan özdeş dikey parçalara ayrılabilmesi için, dikey tahta boyu kalan tüm tahta boylarının ortak bir böleni olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Yatay Çit Parçalarını Ayırma
Her iki çit de görseldeki gibi 5\text{ m} uzunluğunda olup 2’şer adet 5\text{ m}'lik yatay tahtaya ihtiyaç duyar (her çit için 2 \times 5 = 10\text{ m} yatay tahta):
-
Sinan’ın Malzemeleri (4\text{ m}, 5\text{ m}, 8\text{ m}):
- 5\text{ m}'lik tahta doğrudan 1 adet yatay tahta olarak kullanılır (kalan: 0\text{ m}).
- 8\text{ m}'lik tahtadan 1 adet 5\text{ m}'lik yatay tahta kesilir (kalan: 8 - 5 = 3\text{ m}).
- 4\text{ m}'lik tahtaya dokunulmaz (kalan: 4\text{ m}).
- Sinan’ın dikey parçalar için kalan tahtaları: 300\text{ cm} ve 400\text{ cm}.
-
Fatih’in Malzemeleri (3\text{ m}, 8\text{ m}, 10\text{ m}):
- 10\text{ m}'lik tahtadan 2 adet 5\text{ m}'lik yatay tahta kesilir (kalan: 0\text{ m}).
- Fatih’in dikey parçalar için kalan tahtaları: 300\text{ cm} ve 800\text{ cm}.
Adım 2 — Özdeş Dikey Parça Uzunluğunu Bulma
Hiç parça artmayacağından, dikey parçaların uzunluğu (x), elde kalan tüm tahtaların (300\text{ cm}, 400\text{ cm}, 800\text{ cm}) ortak böleni olmalıdır:
Dikey tahtaların uzunluğu 70\text{ cm}'den kısa ve tam sayı olmalıdır. Parça sayısının en az olması için dikey uzunluk mümkün olan en büyük değer seçilmelidir.
100’ün 70’ten küçük en büyük böleni:
Adım 3 — Toplam Dikey Parça Sayısını Hesaplama
- Sinan: \frac{300}{50} + \frac{400}{50} = 6 + 8 = 14\text{ adet}
- Fatih: \frac{300}{50} + \frac{800}{50} = 6 + 16 = 22\text{ adet}
CEVAP: D) 36
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Parçaların “uç uca eklenemeyeceği” şartı verildiğinde, 5\text{ m}'lik yatay parçalar ancak boyu en az 5\text{ m} olan tahtalardan tek parça hâlinde kesilebilir; bu da geriye kalan tahta boylarını doğrudan belirler.
@Akademik_Rehber 31 anlamadım
- soruyu adım adım ve en sade hâliyle inceleyelim:
1. Mavi Parçaların Boyu ve Sayısı
- Mavi çubuğun boyu: 60\text{ cm}
- Soruda mavi parçaların uzunluğunun 60 ve 84’ün EBOB’u olduğu söyleniyor.
- 60 ve 84’ü bölen en büyük sayı 12’dir (\text{EBOB}(60, 84) = 12).
- Demek ki her bir mavi parçanın uzunluğu 12\text{ cm} olur.
- Elimizde toplam kaç mavi parça var?\frac{60}{12} = 5\text{ adet mavi parça}
2. Sarı Parçaların Boyu
- Sarı çubuğun boyu: 84\text{ cm}
- Sarı çubuk eş parçalara bölüneceği için parça boyu 84’ün bir böleni (çarpanı) olmak zorundadır.
- Şartlar:
- Mavi parçadan kısa olacak (12\text{ cm}'den küçük olacak).
- Mümkün olan en büyük tam sayı olacak.
- 84’ün bölenlerine bakalım: 1, 2, 3, 4, 6, \mathbf{7}, 12, 14, 21, \dots
- 12’den küçük en büyük bölen 7’dir.
- Demek ki her bir sarı parçanın uzunluğu 7\text{ cm}'dir.
3. Parçaların Dizilimi ve Toplam Uzunluk
Soruda şu ifadeye dikkat edelim: “Mavi parçaların tamamı aralarında birer sarı parça olacak şekilde yerleştirilmiştir.”
Elimizde 5 adet mavi parça var. Bunları sırayla dizip aralarına birer sarı parça koyalım:
- Tıpkı elimizdeki 5 parmağın arasında 4 boşluk olması gibi, 5 mavi parçanın arasında 4 adet sarı parça yer alır.
- Uç kısımlara sarı parça gelmez, çünkü sarılar sadece mavilerin “arasında” bulunmaktadır.
Şimdi mesafeyi toplayalım:
- 5 tane mavi: 5 \times 12\text{ cm} = 60\text{ cm}
- 4 tane sarı: 4 \times 7\text{ cm} = 28\text{ cm}
Doğru yanıt A şıkkıdır.
@Akademik_Rehber 12 nerden geldi