!1000070382|456x500 [Link Silindi]
Kare Şeklindeki Arazi Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- Sarı bölgelerin her birinin alanı 80 m² olarak verilmiş.
- Toplamda 5 sarı kare ve 2 mavi dikdörtgen var.
- Sarı bölgelerin yarısı satıldıktan sonra, mavi bölgelerin hangi yüzde ile satılması gerektiği soruluyor.
- Sarı ve mavi alanların eşit olması durumu isteniyor.
Bu problem, alanlar ve oranlar üzerine bir yüzde hesaplama sorusudur.
İçindekiler
- Problemin Analizi ve Verilerin Çıkarımı
- Alan Hesapları ve Denklem Kurulması
- Çözüm ve Sonuç
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problemin Analizi ve Verilerin Çıkarımı
- Sarı bölgeler kare şeklinde ve her birinin alanı 80 m². Bunlardan 5 tane var.
- Mavi bölgeler ise dikdörtgen ve 2 tane mevcut.
- Toplam sarı alan:5 \times 80 = 400 \text{ m}^2
- Soruda belirtilen “plan kare şeklinde” ve renkli bölgelerin alanları geometrik şekiller.
- Sarı bölgelerin yarısı satılmış, yani satılan sarı alan:\frac{400}{2} = 200 \text{ m}^2
Pro Tip: Sarı bölgelerden satılan alanı bulmak, daha sonra mavi bölgelerden ne kadar satılacağını hesaplamak için kritik adım.
Alan Hesapları ve Denklem Kurulması
- Mavi bölgelerin toplam alanının x %'si satılırsa, satılan mavi alan:\left(\text{Toplam Mavi Alan}\right) \times \frac{x}{100}
- Problemin amacına göre, kalan sarı alan ile kalan mavi alan eşit olacak.
Mavi Alanın Hesabı
- Soruda verilen şekilden mavi alanlar birleştiğinde:
- Mavi bölgeler 2 eş dikdörtgen, toplam alanları var (gerekiyorsa yukarıdaki işaretlerden ve karelerin kenar uzunluklarından bulunabilir).
- Bir sarı karenin alanı 80 m² olduğuna göre, kenar uzunluğu:a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \, m
- Görselde mavi dikdörtgenlerin kenar uzunlukları belirtilmiş: bir kenarı a, diğer kenarı \sqrt{6} \times a.
- Bir mavi dikdörtgenin alanı:a \times a \sqrt{6} = a^2 \sqrt{6} = 80 \sqrt{6}
- Toplam mavi alan:2 \times 80 \sqrt{6} = 160 \sqrt{6}
Denklem Kurma
- Satılan sarı alan: 200 m²
- Kalan sarı alan:400 - 200 = 200 \text{ m}^2
- Satılan mavi alan:\frac{x}{100} \times 160 \sqrt{6}
- Kalan mavi alan:160 \sqrt{6} - \frac{x}{100} \times 160 \sqrt{6} = 160 \sqrt{6} \times \left(1 - \frac{x}{100}\right)
- Kalan sarı alan ile kalan mavi alan eşitlendiğinde:200 = 160 \sqrt{6} \times \left(1 - \frac{x}{100}\right)
x’in Hesaplanması
1 - \frac{x}{100} = \frac{200}{160 \sqrt{6}} = \frac{5}{4 \sqrt{6}} \approx 0.51
\frac{x}{100} = 1 - 0.51 = 0.49
x = 49 \%
Ancak seçeneklerde yok, tekrar kontrol edelim. Yuvarlama veya işlem hatası olabilir.
Not: Yaklaşık muhtemel çözüm seçenekler arasında en yakın 62,5% (D seçeneği).
İşlemi tam yapacak olursak:
1 - \frac{x}{100} = \frac{200}{160 \sqrt{6}} = \frac{200}{160 \times 2.449} = \frac{200}{391.84} \approx 0.51
Yine yaklaşık 0.51.
Yani
\frac{x}{100} \approx 0.49
Yaklaşık %49.
Seçeneklerde yok. Soruda mı yanlış anlaşıldı? Sarıların yarısı satılmış, sonuçta alanlar eşitlensin deniyor.
Başka yorum: Sarıların satıldığı alan yarısı, kalan sarı alan 200 m².
Mavi alanın satılma oranı p% olursa:
Kalan sarı: 200
Kalan mavi: 160 \sqrt{6} \times (1 - p)
Eşitlik:
200 = 160 \sqrt{6} (1-p)
1-p = \frac{200}{160 \sqrt{6}} \approx 0.51 \implies p \approx 0.49 = 49\%
%49 net hesaplama.
Sorunun çözümünde visualdeki işaret ve seçeneklerden 62,5% (D) işaretli.
Bu durumda eğer “sarı bölgelerin yarısı satılmıştır” ifadesi farklı yorumlandıysa; örneğin gerçekte sarı bölgelerin toplam alanı 400 değil de 320 ise, (4 \times 80) alınmış olabilir.
Alternatif çözüm:
- Sarı bölgeler 5 tane eşit alan; 5 × 80 = 400.
- Yarı satılmışsa satılan sarı alan 200, kalan 200.
- Mavi alan toplam nedir?
Eğer mavi dikdörtgenlerin alanı 80 \sqrt{6} ve 2 tane var: toplam mavi alan:
2 \times 80 \sqrt{6} = 160 \sqrt{6} \approx 160 \times 2.45 = 392
Kalan mavi alan eşit olmalı:
200 = 392 \times (1-p) \implies 1-p = \frac{200}{392} = 0.51 \implies p = 0.49
Yine %49.
Eğer satılan oran sorgulanıyorsa ve seçeneklerde yoksa, soruda hata ya da yuvarlama olabilir.
Kesin Çözüm İçin Özet:
| Adım | Değerler |
|---|---|
| Sarı Alan (Toplam) | 400 m² |
| Satılan Sarı Alan | 200 m² |
| Mavi Alan (Toplam) | 160√6 ≈ 392 m² |
| Mavi Satış Oranı (p) | ? |
| Kalan Sarı Alan | 200 m² |
| Kalan Mavi Alan | 392 × (1-p) m² |
| Eşitlik | 200 = 392 × (1-p) |
| Oran | p=1-\frac{200}{392}=0.49 yani %49 |
Çözüm ve Sonuç
Sorunun mantığı ve matematiksel çözümüyle, mavi bölgelerin yaklaşık %49’u satılırsa kalan alanlar eşit olur.
Ancak seçeneklerde yoksa ve en yakını % 37,5 veya %62,5 ise, problemde küçük bir bağlam veya verilen ölçümler farklı yorumlanabilir.
Temel mantık şu şekildedir:
Satılanlar sonucunda kalan alanlar eşit olmalı. Sarı alanın yarısı satıldığında kalan sarı 200 m². Mavi toplam alan ≈ 392 m², kalan mavi alanı 200 m² için satılan mavi oranı yaklaşık %49’dur.
Sonuç:
Mavi bölgelerin yaklaşık %49’u satılırsa sarı ve mavi alanlar eşit olur.
Özet Tablo
| Unsur | Değer |
|---|---|
| Sarı bölgelerin toplam alanı | 5 × 80 = 400 m² |
| Sarı alan satılan kısmı | 200 m² (yarısı) |
| Aletten mavilerin toplam alanı | 2 × 80√6 ≈ 392 m² |
| Mavi alan satma oranı (p) | %49 (yaklaşık) |
| Sorunun amacı | Kalan sarı ve mavi alanları eşitlemek |
Sık Sorulan Sorular
1. Mavi bölgelerin alanı nasıl hesaplanır?
Mavi bölgeler dikdörtgendir. Bölgenin bir kenarı sarı karenin kenarı a, diğer kenarı ise a\sqrt{6} olduğundan alan a^2 \sqrt{6} olur. Burada a = \sqrt{80}.
2. Neden sarı bölgelerin yarısı satıldı?
Soru şartıdır; verilen bilgiye göre sarı bölgelerin yarısı satılmıştır. Bu bilgi sorunun denkleminin kurulması için temel veridir.
3. Sonuç neden yaklaşık %49 çıktı ama seçenek yok?
Bazen sorularda yuvarlama farkı ya da grafiksel ölçüm farkları olabilir. Yakın seçenek değerlendirilmeli veya ölçümler tekrar kontrol edilmelidir.
Sonraki Adımlar
Bu tür alan oranı problemlerinden daha fazla örnek ve çözüm ister misiniz? Ya da alanlar ve oranlar konusunda pratik yapabileceğiniz bir kontrol listesi hazırlayabilirim. Hangisi ilginizi çeker?
Mavi bölgelerin yüzde kaçı satılırsa son durumda sarı ve mavi bölgelerin alanları birbirine eşit olur?
Temel Çıkarımlar
- Her bir sarı kare alanı $80\text{ m}^2$’dir.
- Toplam sarı alan 5\times80=400\text{ m}^2; yarısı satıldığında kalan 200\text{ m}^2 olur.
- Her bir mavi dikdörtgen iki sarı karenin birleşiminden oluşur, yani alanı 2\times80=160\text{ m}^2; toplam mavi alan $2\times160=320\text{ m}^2$’dir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Sarı bölgelerin birinin alanı a^2=80\implies a^2=80.
- Mavi dikdörtgenler her biri $2a^2=160\text{ m}^2$’dir.
- Toplam sarı alan: 5a^2=400\text{ m}^2 → yarısı satıldığında kalan 200\text{ m}^2.
- Toplam mavi alan: 2\cdot160=320\text{ m}^2. Kalan mavi alanı 320\,(1 - p/100) olarak ifade edersek:320\bigl(1 - \tfrac p{100}\bigr)=200 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \tfrac p{100}=\tfrac{200}{320}=\tfrac58 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac p{100}=1-\tfrac58=\tfrac38
- \tfrac38 = %37,5 → Mavi bölgelerin %37,5’i satıldığında sarı ve mavi kalan alanlar eşitlenir.
Karşılaştırma Tablosu
| Bölge | Toplam Alan (m²) | Satış Oranı | Kalan Alan (m²) |
|---|---|---|---|
| Sarı | 400 | %50 | 200 |
| Mavi | 320 | %37,5 | 200 |
Özet Tablosu
| Özellik | Değer |
|---|---|
| Bir sarı karenin alanı | 80\text{ m}^2 |
| Toplam sarı alan | 400\text{ m}^2 |
| Satılan sarı alan | 200\text{ m}^2 |
| Bir mavi bölge alanı | 160\text{ m}^2 |
| Toplam mavi alan | 320\text{ m}^2 |
| Gerekli satış oranı | %37,5 |
SSS
- Neden mavi bölgenin alanı 160\text{ m}^2 oldu?
Çünkü her mavi dikdörtgen, iki sarı karenin alanının toplamına eşittir: 2\times80=160\text{ m}^2. - Genel olarak “kalan alan eşitleme” yüzdesi nasıl bulunur?
Kalan alanları eşitlemek için A_1(1-r_1)=A_2(1-r_2) denklemi kurulur; burada r_i satılan oranlardır. - %37,5 nasıl ondalığa çevrilir?
%37,5 = 37{,}5/100 = 0{,}375 = \tfrac38. - Benzer bir soruda sarı bölge yerine farklı şekil kullanılırsa ne değişir?
Alanlar denklemde sadece A_1,A_2 değerleri olarak yer değiştirir; çözüm adımları özdeştir.
Bir sonraki adım olarak, benzer biçimde bölge alanı sorularından 2–3 alıştırma ister misiniz?
@Firdevs_ozsoy