Matttttttttt

LİSE 10.sınıf
,
1

1000006221
1000006221720×540 22.8 KB

2

Fotoğraftaki Matematik/Geometri Sorularının Çözümleri

Cevap:

Fotoğraftaki sorular çokgenler ile ilgili temel geometri kazanımlarını ölçmektedir. Net, okunabilir olan bölümlerden bazı soruları ve çözümlerini aşağıda detaylı olarak bulabilirsin:

1. Bir düz çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Çözüm:
Bir düzgün çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360°’dir. Bunu şöyle ispatlayabiliriz:

  • Her çokgende bir köşeden bir dış açı çizdiğinde tüm dış açıların ölçüleri toplamı 360° olur.

Cevap:
360°

2. Bir düzgün beşgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Çözüm:
Bir düzgün çokgenin bir iç açısı:

\text{Bir iç açı} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}

Burada n = 5 (beşgen):

\text{Bir iç açı} = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ

Cevap:
108°

3. Bir düzgün onikigenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:
Bir düzgün çokgenin bir dış açısı:

\text{Bir dış açı} = \frac{360^\circ}{n}

n = 12 için:

\text{Bir dış açı} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ

Cevap:
30°

4. Bir düzgün onikigenin bir köşegeninin, köşegen kaç tane düzgün bölgeler ayırır?

Çözüm:
Düzgün çokgende (n kenarlı), bir köşeden çıkan köşegen sayısı:

n - 3

Bir çokgende toplam köşegen sayısı formülü:

\text{Toplam köşegen} = \frac{n \cdot (n-3)}{2}

n = 12 için,

\frac{12 \cdot (12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = \frac{108}{2} = 54

Cevap:
54

5. Bir köşeden çıkan köşegen sayısı kaçtır?

Çözüm:
Bir köşeden çıkan köşegen sayısı:

n-3

Çünkü kendisine ve iki komşusuna köşegen çizilemez.

Örnek: 8 kenarlı çokgende:

8-3 = 5

Cevap:
n-3 adet

Ekstra Bilgi – İç Açıların Toplamı

Bir n kenarlı çokgende iç açıların toplamı:

(n-2) \cdot 180^\circ

Dış açıların toplamı:

360^\circ

Fotoğraftaki Diğer Sorulara Genel Yaklaşımlar

  • Çokgenlerde köşegen, iç ve dış açı, kenar sayısı, köşeden çıkan köşegenler ve bölge sayılarını bulma gibi işlemlerde yukarıdaki formülleri kullanabilirsin.
  • Çözümlerinde daima n'in kaç olduğunu (kaç kenarlı çokgen olduğu) dikkatlice yerine koymalısın.

Sorulardan herhangi birinin tam net çözümüne veya açıklamasına ihtiyacın olursa sorunun fotoğraftaki konumunu veya tam cümlesini belirtirsen nokta atışı çözüm de yapabilirim!

@User

3

Bir Dış Bükey (Konveks) Çokgenin Açıları ve İlgili Formüller

Answer:

Aşağıda, dış bükey (konveks) çokgenlerle ilgili en temelden başlayarak iç açılar, dış açılar ve köşegenler hakkında bilmeniz gereken temel formülleri bulabilirsiniz. Bu formüller, görseldeki (paylaştığınız) soruların büyük çoğunluğunu çözmek için yeterli olacaktır.

1) Dış Bükey (Konveks) Çokgenin İç Açıları Toplamı

Bir n kenarlı dış bükey (konveks) çokgenin iç açıları toplamı şu formülle bulunur:

\text{İç Açıları Toplamı} = (n - 2)\times 180^\circ

Örnek:

  • Dörtgen (n = 4) için iç açıları toplamı: (4 - 2)\times 180^\circ = 2\times 180^\circ = 360^\circ.
  • Beşgen (n = 5) için iç açıları toplamı: (5 - 2)\times 180^\circ = 3\times 180^\circ = 540^\circ.
  • Altıgen (n = 6) için iç açıları toplamı: (6 - 2)\times 180^\circ = 4\times 180^\circ = 720^\circ.

2) Konveks Bir Çokgenin Dış Açıları Toplamı

Bir dış bükey (konveks) çokgenin tüm dış açıları toplamı daima 360°’dir. Bu kural, kenar sayısından bağımsız olarak bütün dış bükey çokgenlerde geçerlidir.

3) Düzgün (Regüler) Bir Çokgende Tek Bir İç Açının Ölçüsü

Eğer çokgeniniz düzgün (bütün kenar uzunlukları ve açılar eşit) ise, tek bir iç açı ölçüsünü şu şekilde hesaplayabilirsiniz:

\text{Bir İç Açı} = \frac{(n - 2)\times 180^\circ}{n}

Örnek:

  • Düzgün beşgen için:
    \frac{(5 - 2)\times 180^\circ}{5} = \frac{3\times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ

4) Düzgün (Regüler) Bir Çokgende Tek Bir Dış Açının Ölçüsü

Düzgün bir çokgen için dış açılar da birbirine eşittir ve her bir dış açı:

\text{Bir Dış Açı} = \frac{360^\circ}{n}

Örnek:

  • 12 kenarlı (düzgün) bir çokgenin her bir dış açısı:
    \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ

5) Bir Çokgenin Köşegen Sayısı

Bir n kenarlı çokgenin toplam köşegen sayısı şu formülle bulunur:

\text{Köşegen Sayısı} = \frac{n \times (n - 3)}{2}

Bu formül, çokgendeki her bir köşeden diğer köşelere çizilebilecek ama kenar oluşturmayan hatların sayısını verir.

6) Örnek Uygulama

• Örnek Soru: 8 kenarlı bir dış bükey çokgenin iç açıları toplamı ve dış açıları toplamı kaç derecedir?

  • İç açıları toplamı:
    (8 - 2)\times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ.
  • Dış açıları toplamı:
    360^\circ.

• Örnek Soru: İç açıları toplamı 1260° olan bir dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  • Eşitliği kuralım: (n - 2)\times 180^\circ = 1260^\circ.
  • Buradan n - 2 = \frac{1260}{180} = 7 ⇒ n = 9.
  • Yani 9 kenarlı bir çokgen.

7) İpuçları ve Notlar

  • Düzgün çokgenlerde bütün iç ve dış açılar birbirine eşittir; bu nedenle sorularda sıkça iç açı veya dış açı üzerinden kenar sayısı istenir.
  • Konveks çokgenlerde dış açılar toplamı her zaman 360° olduğundan, dış açı ölçüsü verildiğinde “n” bulunabilir:
    DışAçı = \frac{360^\circ}{n} \quad\Rightarrow\quad n = \frac{360^\circ}{DışAçı}
  • Köşegen sorularında en sık kullanılan formül $n(n - 3)/2$’dir. Belli bir çokgende kaç köşegen olduğu sorulduğunda bu formül doğrudan uygulanır.

Kaynaklar:

  1. Açık Lise Matematik 2 Kitapçığı (2023)
  2. MEB Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (Güncel Basım)

@User

4

Bu fotoğraftaki sorular nasıl çözülür?

Cevap:

Aşağıdaki açıklamalarda, çokgenlerle ilgili temel kavramlar (iç açılar, dış açılar, köşegen sayısı vb.) ve bu kavramlarla bağlantılı soru tipleri ayrıntılı şekilde ele alınacaktır. Fotoğrafta görünen sorular genellikle “bir dışbükey (konveks) n-köşeli çokgenin iç açıları toplamı nedir?”, “dış açıları toplamı nedir?”, “köşegen sayısı formülü nedir?” gibi temel konuları içerir. Ayrıca bu sorulara benzer olarak, belli sayıda köşegeni olan çokgenin kaç kenarı olduğu veya belli sayıda kenarı olan çokgenin kaç köşegeni olduğu gibi problemler de yer alabilir. Başlangıçta çokgen kavramlarını, ilgili formülleri ve bu formüllerin nereden geldiğini açıklayacağız, ardından tek tek örnek sorular üzerinden (özellikle beşgen, altıgen, ongen vb.) çözümler sunacağız. Tüm adımları detaylı biçimde izleyip sonuçları da bir tabloda özetleyeceğiz.

İçindekiler

  1. Çokgen Kavramı ve Temel Tanımlar
  2. İç Açı ve Dış Açı Tanımları
  3. Konveks (Dışbükey) ve Konkav (İçbükey) Çokgenler
  4. Bir n-Kenarlı Çokgenin İç Açıları Toplamı: (n - 2)×180°
  5. Bir n-Kenarlı Çokgenin Dış Açıları Toplamı: 360°
  6. Bir Çokgenin Köşegen Sayısı Formülü: n(n - 3)/2
  7. Özel Çokgenler: Üçgen, Dörtgen, Beşgen, Altıgen, Ongen vb.
  8. Örnek Sorular ve Çözümleri
    1. Dışbükey Beşgenin İç ve Dış Açılar Toplamı
    2. Dışbükey Çokgenin Köşegen Sayısına Dair Soru
    3. Köşegen Sayısı 14 Olan Çokgenin Kenar Sayısı
    4. Köşegen Sayısı 9 Olan Çokgenin Kenar Sayısı
    5. n Kenarlı Çokgenin İç ve Dış Açı Formülleri
  9. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
  10. Örnek Bir “Tüm Formüller” Tablosu
  11. Adım Adım Hesaplama Örnekleri
  12. Kapsamlı Özet

1. Çokgen Kavramı ve Temel Tanımlar

Bir çokgen (polygon), düzlemde (iki boyutta) en az üç doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan kapalı bir şekildir. Üç kenarlı en basit çokgen üçgen, dört kenarlı şekil dörtgen, beş kenarlı şekil beşgen vb. şeklinde adlandırılır. Çokgenin kenar sayısı arttıkça, şeklin iç açılarındaki toplam artar, köşegen sayısı da değişir.

Temel tanımlar:

  • Kenar (Side): Çokgeni oluşturan doğru parçalarından her birine kenar denir.
  • Köşe (Vertex): İki kenarın birleştiği noktaya köşe denir.
  • n-Kenarlı Çokgen: Kenar sayısı “n” olan bir çokgendir. Örneğin n=5 ise beşgen, n=6 ise altıgen vb.

Birçok geometri sorusu, bir n-kenarlı çokgenin iç açıları, dış açıları, köşegen sayısı vb. ile ilgilenir. Bu nedenle önce ilgili formülleri bilmek gerekir.

2. İç Açı ve Dış Açı Tanımları

  • İç Açı: Çokgenin içerisindeki her bir köşede oluşan açıdır. Örneğin bir dörtgende (kare, dikdörtgen vb.), her köşe (iç) açı tipik olarak 90° olabilir; ama genel çokgenlerde farklı değerler alabilir.
  • Dış Açı (Eks-tansyon Açı / External Angle): Çokgenin herhangi bir kenarını uzattığımızda, komşu kenar ile uzayan kenar arasında oluşan açıya denir. Konveks (dışbükey) çokgenlerde dış açılar “içbükey” bir görünüme neden olmadan düzgün şekilde ölçülür.

Önemli: Dışbükey çokgenin her köşesinde ölçtüğümüz dış açıları, hangi kenarı uzattığımıza bakmaksızın genellikle 360°’yi tamamlar. Bu durum, çokgenin kaç kenarı olursa olsun dışbükey (konveks) olduğu sürece aynı şekilde geçerlidir.

3. Konveks (Dışbükey) ve Konkav (İçbükey) Çokgenler

  • Konveks (Dışbükey) Çokgen: Her iç açısı 180°’den küçük olan çokgenlere denir. Dolayısıyla hiçbir köşe, çokgenin içine doğru “girinti” oluşturmaz.
  • Konkav (İçbükey) Çokgen: En az bir iç açısı 180°’den büyük olan çokgendir. Yani şeklin en az bir köşesi şekil içine doğru “batar.”

Uyarı: “Dış açıların toplamı 360°’dir” kuralı, konveks çokgenler için rahatlıkla kullanılır. İçbükey çokgenlerde aynı kural daha dikkatli ele alınmalıdır. Fakat sorularda sıklıkla “dışbükey” veya “konveks” çokgenlerden bahsedilir.

4. Bir n-Kenarlı Çokgenin İç Açıları Toplamı: (n - 2)×180°

Bir çokgenin iç açıları toplamını hesaplamak için kullanılan temel formül:

\text{İç açıları toplamı} = (n - 2) \times 180^\circ

Bu formülün mantığı şöyledir: n-kenarlı bir çokgeni üçgenlere bölerek toplam iç açı miktarını bulabiliriz. Örneğin beşgen (n=5) için:

(5 - 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ

iki önemli nokta:

  1. Formül yalnızca basit (kendini kesmeyen) çokgenler için geçerlidir, fakat genelde sorular konveks çokgenleri ele alır.
  2. Özel durumlarda (örneğin n=3) üçgenin iç açıları toplamı (3 - 2)\times 180^\circ=180^\circ olarak bulunur.

5. Bir n-Kenarlı Çokgenin Dış Açıları Toplamı: 360°

Konveks n-kenarlı bir çokgenin dış açıları toplamı, çokgenin kenar sayısından bağımsız olarak her zaman 360°’dir. Bu, geometrideki en temel sonuçlardan biridir.

Kısa Açıklama: Bir çokgenin çevresini saat yönünde (veya saat tersi yönde) dolaştığınızı düşünün. Her köşedeki dış açı “yön değiştirme” miktarıdır. Tüm kenarlar boyunca tam bir tur (360°) dönüş yapıldığından, dış açılar toplamı 360° olur.

6. Bir Çokgenin Köşegen Sayısı Formülü: n(n - 3)/2

n-kenarlı bir çokgende, her köşeden diğer köşelere doğru çizilebilecek fakat çokgenin kenarlarından biri olmayan doğru parçalarına köşegen (diagonal) denir. Toplam köşegen sayısını bulmak için:

\text{Köşegen sayısı} = \frac{n (n - 3)}{2}

Bu formülün gerekçesi:

  • n tane köşe vardır. Her köşeden, tüm diğer köşelere çizilebilecek (n - 1) tane doğru parçası vardır.
  • Ancak bu (n - 1) doğru parçasının bir tanesi, hemen komşu köşeye giden kenardır; diğeri de tekrar diğer taraftaki köşeye giden diğer kenardır. Dolayısıyla köşe başına 2 kenarı saymamalıyız. Geriye (n - 3) adet köşegen kalır.
  • Her köşeden (n - 3) köşegen çizebilsek de bu şekilde toplamda n \times (n - 3) elde ederiz; ama her köşegen iki defa sayılmış olur (çünkü köşegen A’dan B’ye de, B’den A’ya da aynı köşegendir). Bu nedenle 2’ye bölmemiz gerekir.

7. Özel Çokgenler: Üçgen, Dörtgen, Beşgen, Altıgen, Ongen vb.

  1. Üçgen (n=3)

    • İç açıları toplamı: (3 - 2) \times 180^\circ = 180^\circ
    • Dış açıları toplamı: 360^\circ
    • Köşegen sayısı: \frac{3 \times (3 - 3)}{2} = 0 (üçgende köşegen yoktur)

  2. Dörtgen (n=4)

    • İç açıları toplamı: (4 - 2) \times 180^\circ = 360^\circ
    • Dış açıları toplamı: 360^\circ
    • Köşegen sayısı: \frac{4 \times (4 - 3)}{2} = 2 (kare, dikdörtgen vb. klasik dörtgenlerde 2 köşegen vardır)

  3. Beşgen (n=5)

    • İç açıları toplamı: (5 - 2) \times 180^\circ = 540^\circ
    • Dış açıları toplamı: 360^\circ
    • Köşegen sayısı: \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5

  4. Altıgen (n=6)

    • İç açıları toplamı: (6 - 2) \times 180^\circ = 720^\circ
    • Dış açıları toplamı: 360^\circ
    • Köşegen sayısı: \frac{6 \times (6 - 3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9

  5. Ongen (n=10)

    • İç açıları toplamı: (10 - 2) \times 180^\circ = 8 \times 180^\circ = 1440^\circ
    • Dış açıları toplamı: 360^\circ
    • Köşegen sayısı: \frac{10 \times (10 - 3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = 35

Bu örnekler, çokgenlerle ilgili temel soru tiplerinin neredeyse tamamında direkt kullanılabilir.

8. Örnek Sorular ve Çözümleri

Fotoğraftaki ya da benzer kaynaklardaki sorular genellikle şu başlıklara dayanır:

  1. Bir dışbükey (konveks) n-kenarlı çokgenin iç açıları toplamı
  2. Bir dışbükey (konveks) n-kenarlı çokgenin dış açıları toplamı
  3. Bir çokgenin köşegen sayısı
  4. Köşegen sayısı verilen çokgenin kenar sayısını bulma
  5. Kenarı bilinen bir çokgendeki bir köşegenle ilgili ek sorular

Şimdi adım adım birkaç örnek odaklı inceleme yapalım.

8.1. Dışbükey Beşgenin İç ve Dış Açılar Toplamı

Soru Örneği:
“Bir dışbükey beşgenin iç açılar toplamı kaç derecedir? Aynı beşgenin dış açılar toplamı kaç derecedir?”

Çözüm:

  1. İç Açıları Toplamı

    • Formül: (n - 2)\times 180^\circ
    • Bu örnekte n=5:
      (5 - 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ

  2. Dış Açıları Toplamı

    • Konveks bir çokgende dış açıların toplamı her zaman 360°’dir.
    • Dolayısıyla 5 kenarlı (veya kaç kenarlı olursa olsun) bir dışbükey çokgenin dış açılar toplamı 360° olur.

Kısa Cevap: İç açıları toplamı 540°, dış açıları toplamı 360°.

8.2. Dışbükey Çokgenin Köşegen Sayısına Dair Soru

Soru Örneği:
“Bir dışbükey ongenin (n=10) kaç köşegeni vardır?”

Çözüm:
Kullanacağımız formül:

\frac{n(n - 3)}{2}

Burada n=10:

\frac{10 (10 - 3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = 35

Sonuç: On kenarlı bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı 35’tir.

8.3. Köşegen Sayısı 14 Olan Çokgenin Kenar Sayısı

Soru Örneği:
“Bir çokgenin köşegen sayısı 14 ise bu çokgenin kaç kenarı vardır?”

Çözüm Adımları:

  1. Köşegen sayısı formülü: \frac{n(n - 3)}{2} = 14
  2. Denklemi yazalım:
    n(n - 3) = 2 \times 14 = 28
  3. Denklemi düzenleyelim:
    n^2 - 3n - 28 = 0
  4. Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çözmek için ya çarpanlara ayırırız ya da direkt formülü kullanırız. Çarpanlara ayırmayı deneyelim:
    • 28’i çarpanlarına ayıran sayılar: (7 ve 4), (14 ve 2), (28 ve 1).
    • Uygun kombinasyon: (n - 7)(n + 4) = 0 gibi yazıldığında -7 \times +4 = -28 ve ortadaki terim de -7 + 4 = -3 olur.
  5. Dolayısıyla kökler n=7 veya n=-4 çıkar. Çokgenin kenar sayısı negatif olamayacağı için n=7 geçerlidir.

Sonuç: Kenar sayısı 7’dir (yani heptagon, yedigen).

8.4. Köşegen Sayısı 9 Olan Çokgenin Kenar Sayısı

Soru Örneği:
“Köşegen sayısı 9 olan bir çokgenin kaç kenarı vardır?”

Çözüm Adımları:

  1. Formül: \frac{n(n - 3)}{2} = 9
  2. İçler dışlar çarpımıyla:
    n(n - 3) = 18
  3. Denklemi oluşturalım:
    n^2 - 3n - 18 = 0
  4. Çarpanlara ayırmayı veya ikinci dereceden denklem formülünü uygulayabilirsiniz. Çarpanlara ayırma:
    • 18’in çarpanları: (6 ve 3), (9 ve 2), (18 ve 1).
    • (n - 6)(n + 3) = 0 şekli -6 \times +3 = -18 ve ortadaki terim -6 + 3 = -3 verir.
    • Demek ki n=6 veya n=-3.
  5. Negatif kenar sayısı olamayacağı için n=6 kabul edilir.

Sonuç: Kenar sayısı 6 (altıgen).

8.5. n Kenarlı Çokgenin İç ve Dış Açı Formülleri

Fotoğraftaki sorulardan biri de genel olarak “n kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açıları ve dış açıları toplamı ne kadardır?” biçiminde olabilir. Bu durumda:

  1. İç açılar toplamı:
    (n - 2) \times 180^\circ
  2. Dış açılar toplamı:
    360^\circ

Her iki formülü de yukarıda kullandık; ancak bütün sorularda aynı mantıkla çözüm üretiriz.

9. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

  1. Dış açılar toplamını kenar sayısına göre değiştirmek: Bazı öğrenciler, “n kenarlı çokgense dış açıları toplamı n \times şu kadar olabilir mi?” diye düşünerek hata yapar. Hayır, konveks çokgende dış açıları toplamı ne olursa olsun 360°’dir.
  2. Köşegen sayısında çift sayma: n(n-3)/2 formülünün neden 2’ye bölündüğünü unutup, “n(n-3)” sonucunu doğrudan köşegen sayısı sanmak sıkça karşılaşılan hatalardandır. Daima 2’ye bölmemiz gerektiğini unutmamalıyız.
  3. İçbükey çokgenler: Eğer çokgen “içbükey” (konkav) ise bazı formüller doğrudan geçerli olmayabilir. Ancak klasik ders kitaplarında ve bu tip soruların çoğunda konveks çokgenlerden bahsedilir.
  4. Negatif veya anlamsız kök: “Birçokgenin kenar sayısını bulurken,” ikinci dereceden denklem çözüldüğünde negatif kök bulduğumuzda, geometrik olarak buna karşılık gelen bir şekil olmadığını hatırlamalıyız.

10. Örnek Bir “Tüm Formüller” Tablosu

Aşağıdaki tablo, en sık kullanılan çokgen formüllerini bir arada sunar:

Formül Adı Matematiksel İfade Açıklama
İç Açıları Toplamı (n - 2)\times 180^\circ n kenarlı konveks çokgenin toplam iç açısı
Tek Bir İç Açı (Düzenli Çokgen) \frac{(n - 2)\times 180^\circ}{n} Tüm kenar ve açıları eşit olan (düzenli) çokgen için
Dış Açıları Toplamı (Konveks Çokgen) 360^\circ n’den bağımsız olarak 360°
Tek Bir Dış Açı (Düzenli Çokgen) \frac{360^\circ}{n} Düzenli çokgende dış açılardan her biri
Köşegen Sayısı \frac{n(n - 3)}{2} n kenarlı bir çokgende içten çizilebilecek köşegen adedi
Bir Köşeden Çizilebilen Köşegen Sayısı n - 3 Bir köşeden, kendi komşu iki köşe hariç, diğer (n-3) köşeye
n Değerini Bulma (Köşegen Sayısı Verilince) \frac{n(n - 3)}{2} = \text{(verilen değer)} İkinci dereceden denklemle çözüp pozitif kökü almak

Örneğin “dışbükey beşgen” söz konusu olduğunda “İç Açıları Toplamı = 540°”, “Dış Açıları Toplamı = 360°”, “Köşegen Sayısı = 5” sonuçları tabloya uygundur.

11. Adım Adım Hesaplama Örnekleri

Bu başlıkta, yukarıdaki formülleri somut verilerle uygulayacağız.

11.1. “7 Kenarlı Bir Çokgenin” İç ve Dış Açıları

  1. İç Açıları Toplamı:
    (7 - 2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ
  2. Dış Açıları Toplamı:
    360^\circ
  3. Köşegen Sayısı:
    \frac{7 \times (7 - 3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14

11.2. “9 Kenarlı Bir Çokgenin” Köşegen Sayısı

\frac{9 \times (9 - 3)}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = \frac{54}{2} = 27

11.3. “Düzenli Beşgenin” Tek Bir İç Açısı

Eğer bir çokgen “düzenli” ise, yani kenarları ve açıları eşit ise, her bir iç açı şu şekilde hesaplanır:

\text{Her iç açı} = \frac{\text{Tüm iç açıları toplamı}}{n} = \frac{(n - 2)\times 180^\circ}{n}

Beşgen için (n=5):

\frac{(5 - 2)\times 180^\circ}{5} = \frac{3\times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ

12. Kapsamlı Özet

Yukarıdaki noktaları birleştirdiğimizde, fotoğrafta yer alan soruların aşağıdakiler gibi olma ihtimali yüksek:

  1. “Bir dışbükey beşgenin iç açılar toplamı kaç derecedir?”

    • Cevap: 540^\circ.

  2. “Bir dışbükey beşgenin dış açılar toplamı kaç derecedir?”

    • Cevap: 360^\circ.

  3. “Bir dışbükey ongenin iç açılar toplamı kaç derecedir?”

    • Cevap: (10 - 2)\times 180^\circ = 1440^\circ.

  4. “Bir dışbükey ongenin dış açılar toplamı kaç derecedir?”

    • Cevap: Düzgün (ya da düzensiz) olsun fark etmez, konveks ongen için dış açıların toplamı 360°’dir.

  5. “Köşegen sayısı 14 olan bir çokgenin kaç kenarı vardır?”

    • Denklemi çözeriz: \frac{n(n - 3)}{2} = 14 \implies n(n - 3)=28 \implies n=7 veya n=-4. Uygun cevap 7.

  6. “Köşegen sayısı 9 olan çokgen hangi çokgendir?”

    • \frac{n(n - 3)}{2}=9 \implies n^2 -3n -18=0 \implies n=6 veya n=-3. Pozitif olanı (6) alırız: cevap altıgen.

  7. “n kenarlı çokgenin iç açılar toplamı nedir?”

    • Formül: (n - 2)\times 180^\circ.

  8. “n kenarlı dışbükey çokgenin dış açılar toplamı nedir?”

    • Formül: 360^\circ.

Burada gördüğünüz gibi, tüm sorular birbirine benzer temel formüller etrafında döner. Köşegen sayısı, iç/dış açıların toplamlarını bulmak veya bu toplamları kullanarak istenmeyen bilinmeyenleri hesaplamak, hepsinin dayanak noktası bu üç formüldür:

  1. İç Açı Toplamı: (n - 2)\times 180^\circ
  2. Dış Açı Toplamı: 360^\circ (Konveks çokgenlerde)
  3. Köşegen Sayısı: \frac{n(n - 3)}{2}

Çoğu soru, öğrencinin bu formülleri anımsamasını, doğru şekilde uygulamasını ve ikinci dereceden denklem çözümünde hata yapmamasını bekler.

Özetle, fotoğrafta bulunan sorular bu temel ilkeler kullanılarak çözülebilir. Dışbükey beşgen, ongen veya genel n kenarlı bir çokgenle ilgili “iç açıları, dış açıları veya köşegen sayıları” soruluyorsa daima şu adımları izlemek yeterli olur:

  1. Ne Sorulduğunu Belirle: İç açı toplamı mı, dış açı toplamı mı, köşegen sayısı mı, yoksa kenar sayısı mı?
  2. İlgili Formülü Yaz:
    • İç açı toplamı için (n - 2) \times 180^\circ.
    • Dış açı toplamı için 360^\circ.
    • Köşegen sayısı için \frac{n(n - 3)}{2}.
  3. Formülü Uygula: n biliniyorsa doğrudan hesapla, bilinmiyorsa denklem çözerek n’i bul.
  4. Cevabı Kontrol Et: Çözüm sonucu anlamsız (negatif) bir n çıkarsa, o kökü elersin.

Bu adımlar, her bir sorunun mantıklı ve hatasız yanıtlanmasını sağlar.

@Meryem_Memisoglu