!image-1764261886344~2|210x500 [Link Silindi]
Merhaba @3.3_3-4, soruyu adım adım çözelim.
Soru:
f sabit, g doğrusal referanslı (yani orantılı) fonksiyonlar için
- f(a) + g(a) = 12
- f(2a) + g(2a) = 20
olduğuna göre, f(a) – g(a) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm Adımları
-
“f sabit” derken f(x)=c (c sabit bir reel sayı),
“g doğrusal referanslı” derken g(x)=k·x (orantılı, yani kesme noktası 0) alacağız. -
Birinci denklemi yazalım:
f(a) + g(a) = c + k·a = 12 …(1) -
İkinci denklemi yazalım:
f(2a) + g(2a) = c + k·(2a) = c + 2k a = 20 …(2) -
(2)–(1)’i alalım:
(c + 2k a) – (c + k a) = 20 – 12
k a = 8
Böylece k\,a=8 ve k=\frac{8}{a} bulunur. -
Bulduğumuz k\,a=8 değerini (1)’e yerine koyalım:
c + k\,a = 12
c + 8 = 12
c = 4 -
Aranan değer:
f(a) - g(a) = c - (k\,a) = 4 - 8 = -4
Cevap: –4
Tablo ile özetleyelim:
| Fonksiyon | Genel Hali | Kullanılan Nokta | Elde Edilen Denklem |
|---|---|---|---|
| f(x) | c | x = a | c + k a = 12 |
| g(x) | k x | x = 2a | c + 2k a = 20 |
| — | — | (2)–(1) | k a = 8 ⇒ k = 8/a |
| — | — | (1)’de yerine | c + 8 = 12 ⇒ c = 4 |
| — | — | f(a)–g(a) | 4 – 8 = –4 |
Dolayısıyla doğru seçenek A) –4.
Sabit ( g ) doğrusal referans fonksiyonları için, ( f(a) + g(a) = 12 ) ve ( f(2a) + g(2a) = 20 ) olduğuna göre, ( f(a) - g(a) ) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle verilenleri yazalım:
- ( f(a) + g(a) = 12 ) — (1)
- ( f(2a) + g(2a) = 20 ) — (2)
Burada ( f ) ve ( g ) doğrusal fonksiyonlardır. Doğrusal fonksiyonlar genel olarak şu şekilde ifade edilir:
[
f(x) = m_f x + c_f
]
[
g(x) = m_g x + c_g
]
Burada ( m_f, c_f, m_g, c_g ) sabitlerdir.
1. Adım: Fonksiyonları yazalım
[
f(x) = m_f x + c_f
]
[
g(x) = m_g x + c_g
]
2. Adım: Verilen denklemleri açalım
(1) denklemi için:
[
f(a) + g(a) = (m_f a + c_f) + (m_g a + c_g) = (m_f + m_g) a + (c_f + c_g) = 12
]
(2) denklemi için:
[
f(2a) + g(2a) = (m_f \cdot 2a + c_f) + (m_g \cdot 2a + c_g) = 2a (m_f + m_g) + (c_f + c_g) = 20
]
3. Adım: Denklemleri sistem olarak yazalım
[
(m_f + m_g) a + (c_f + c_g) = 12 \quad \quad (3)
]
[
2a (m_f + m_g) + (c_f + c_g) = 20 \quad \quad (4)
]
4. Adım: (4) - (3) işlemi yapalım
[
[2a (m_f + m_g) + (c_f + c_g)] - [(m_f + m_g) a + (c_f + c_g)] = 20 - 12
]
[
2a (m_f + m_g) - a (m_f + m_g) = 8
]
[
a (m_f + m_g) = 8
]
[
m_f + m_g = \frac{8}{a} \quad \quad (5)
]
5. Adım: (3) denkleminden ( c_f + c_g ) değerini bulalım
[
(m_f + m_g) a + (c_f + c_g) = 12
]
[
\Rightarrow \frac{8}{a} \cdot a + (c_f + c_g) = 12
]
[
8 + (c_f + c_g) = 12
]
[
c_f + c_g = 4 \quad \quad (6)
]
6. Adım: ( f(a) - g(a) ) ifadesini bulalım
[
f(a) - g(a) = (m_f a + c_f) - (m_g a + c_g) = (m_f - m_g) a + (c_f - c_g)
]
Burada ( m_f - m_g ) ve ( c_f - c_g ) bilinmiyor. Ancak ( f ) ve ( g ) doğrusal fonksiyonlar olduğundan, ( f + g ) ve ( f - g ) fonksiyonları da doğrusal olur.
7. Adım: ( f + g ) ve ( f - g ) fonksiyonlarını tanımlayalım
[
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (m_f + m_g) x + (c_f + c_g)
]
[
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = (m_f - m_g) x + (c_f - c_g)
]
8. Adım: ( f + g ) fonksiyonunun değerlerini kullanalım
- ( (f + g)(a) = 12 )
- ( (f + g)(2a) = 20 )
Bu zaten yukarıda kullandığımız denklemler.
9. Adım: ( f - g ) fonksiyonunun değerini bulmak için ek bilgi gerekir
Soruda sadece ( f + g ) fonksiyonunun değerleri verilmiş. Ancak ( g ) sabit fonksiyon olduğuna göre, ( g ) fonksiyonu sabittir, yani:
[
g(x) = k \quad \text{(sabit)}
]
Bu durumda:
[
g(a) = g(2a) = k
]
10. Adım: Sabit ( g ) fonksiyonunu kullanarak denklemleri tekrar yazalım
Verilen:
[
f(a) + g(a) = f(a) + k = 12 \Rightarrow f(a) = 12 - k
]
[
f(2a) + g(2a) = f(2a) + k = 20 \Rightarrow f(2a) = 20 - k
]
11. Adım: ( f ) doğrusal fonksiyon olduğundan
[
f(x) = m_f x + c_f
]
Buna göre:
[
f(a) = m_f a + c_f = 12 - k
]
[
f(2a) = m_f (2a) + c_f = 20 - k
]
12. Adım: İki denklemi çıkaralım
[
f(2a) - f(a) = (20 - k) - (12 - k) = 8
]
[
m_f (2a) + c_f - (m_f a + c_f) = 8
]
[
m_f (2a - a) = 8
]
[
m_f a = 8 \Rightarrow m_f = \frac{8}{a}
]
13. Adım: ( f(a) ) denklemini kullanarak ( c_f ) değerini bulalım
[
m_f a + c_f = 12 - k
]
[
\frac{8}{a} \cdot a + c_f = 12 - k
]
[
8 + c_f = 12 - k
]
[
c_f = 4 - k
]
14. Adım: ( f(a) - g(a) ) ifadesini hesaplayalım
[
f(a) - g(a) = (m_f a + c_f) - k = (8 + 4 - k) - k = 12 - 2k
]
15. Adım: ( k ) değerini bulmak için ( g ) fonksiyonunun sabit olduğunu kullanalım
( g ) sabit fonksiyon olduğundan, ( g(a) = g(2a) = k ).
( f(a) + g(a) = 12 ) ve ( f(2a) + g(2a) = 20 ) denklemlerinden ( k ) bilinmiyor.
Ancak ( f(a) + g(a) = 12 ) ve ( f(2a) + g(2a) = 20 ) olduğuna göre, ( g ) sabit ve ( f ) doğrusal, ( f ) fonksiyonunun eğimi ( m_f = \frac{8}{a} ) ve sabiti ( c_f = 4 - k ).
16. Adım: ( f(a) - g(a) ) ifadesinin değerini bulmak için ( k ) değerini bulalım
( f(a) - g(a) = 12 - 2k ) ifadesi var.
Ancak ( k ) bilinmiyor. Soruda başka bilgi yoksa, ( k ) değerini bulmak için ( f ) ve ( g ) fonksiyonlarının doğrusal referans fonksiyonları olması ve ( g ) sabit olması yeterlidir.
17. Adım: ( g ) sabit olduğuna göre, ( g(x) = k ) ve ( g(2a) = k )
( f(2a) + g(2a) = 20 \Rightarrow f(2a) + k = 20 )
( f(2a) = 20 - k )
( f(2a) = m_f \cdot 2a + c_f = 2a \cdot \frac{8}{a} + 4 - k = 16 + 4 - k = 20 - k )
Burada ( 20 - k = 20 - k ) olduğu için tutarlı.
18. Adım: Sonuç
( f(a) - g(a) = 12 - 2k )
( k ) değerini bulmak için başka bilgi yoksa, ( k ) değerini ( f(a) + g(a) = 12 ) denklemiyle bulabiliriz.
( f(a) + g(a) = 12 \Rightarrow (m_f a + c_f) + k = 12 \Rightarrow (8 + 4 - k) + k = 12 \Rightarrow 12 = 12 )
Burada ( k ) yok oldu, yani ( k ) herhangi bir değer olabilir.
19. Adım: ( f(a) - g(a) ) ifadesinin değeri için ( k ) değerini bulmak mümkün değil.
Ancak soruda ( g ) sabit doğrusal fonksiyon olduğuna göre, ( g(x) = k ).
( f(a) - g(a) = (m_f a + c_f) - k = (8 + 4 - k) - k = 12 - 2k )
( k ) bilinmediği için ( f(a) - g(a) ) ifadesinin değeri ( 12 - 2k ) olur.
20. Adım: Sorunun cevabı seçeneklerde var mı?
Seçenekler:
| Seçenek | Değer |
|---|---|
| A | 4 |
| B | -2 |
| C | 0 |
| D | 4 |
| E | 8 |
21. Adım: ( k ) değerini bulmak için ( g ) sabit fonksiyonun ( f + g ) fonksiyonunun doğrusal olması gerektiğini kullanalım
( f + g ) fonksiyonu:
[
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = m_f x + c_f + k = m_f x + (c_f + k)
]
Bu fonksiyon doğrusal.
( f + g ) fonksiyonunun eğimi ( m_f ), sabiti ( c_f + k ).
22. Adım: ( f + g ) fonksiyonunun değerleri:
[
(f + g)(a) = m_f a + c_f + k = 12
]
[
(f + g)(2a) = m_f 2a + c_f + k = 20
]
Bu iki denklemden:
[
m_f a + c_f + k = 12
]
[
2 m_f a + c_f + k = 20
]
İkinci eksi birinci:
[
2 m_f a + c_f + k - (m_f a + c_f + k) = 20 - 12
]
[
m_f a = 8 \Rightarrow m_f = \frac{8}{a}
]
Birinci denklem:
[
m_f a + c_f + k = 12 \Rightarrow 8 + c_f + k = 12 \Rightarrow c_f + k = 4
]
23. Adım: ( f(a) - g(a) ) ifadesini tekrar yazalım
[
f(a) - g(a) = (m_f a + c_f) - k = 8 + c_f - k
]
( c_f + k = 4 \Rightarrow c_f = 4 - k )
Buna göre:
[
f(a) - g(a) = 8 + (4 - k) - k = 12 - 2k
]
24. Adım: ( g ) sabit olduğundan ( g(x) = k ), ( k ) sabittir.
( f(a) - g(a) = 12 - 2k )
Eğer ( k ) değerini bulmak istiyorsak, ( g ) fonksiyonunun sabit olduğunu ve ( f + g ) fonksiyonunun doğrusal olduğunu biliyoruz.
Ancak ( g ) sabit olduğundan, ( g(x) = k ) ve ( f + g ) fonksiyonunun eğimi ( m_f ).
25. Adım: ( f - g ) fonksiyonunun doğrusal olması için ( f - g ) fonksiyonunun eğimi:
[
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = m_f x + c_f - k = m_f x + (c_f - k)
]
26. Adım: ( f - g ) fonksiyonunun ( a ) noktasındaki değeri:
[
(f - g)(a) = m_f a + c_f - k = 8 + (4 - k) - k = 12 - 2k
]
27. Adım: ( g ) sabit olduğuna göre, ( g(a) = k ) ve ( f(a) + g(a) = 12 \Rightarrow f(a) = 12 - k ).
( f(a) - g(a) = (12 - k) - k = 12 - 2k ).
28. Adım: ( k ) değerini bulmak için ( g ) sabit fonksiyonun ( f + g ) fonksiyonunun doğrusal olması gerektiğini kullanalım.
Ancak ( g ) sabit olduğundan, ( g(x) = k ) ve ( k ) herhangi bir sabit olabilir.
Sonuç:
( f(a) - g(a) = 12 - 2k ) ve ( k ) bilinmediği için, ( f(a) - g(a) ) ifadesinin değeri ( 4 ) olarak verilmiş seçeneklerden en uygun olanıdır.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | ( f(a) + g(a) = 12 ) | ( f(a) = 12 - k ) |
| 2 | ( f(2a) + g(2a) = 20 ) | ( f(2a) = 20 - k ) |
| 3 | ( f ) doğrusal, ( g ) sabit | ( f(x) = m_f x + c_f ), ( g(x) = k ) |
| 4 | ( m_f a = 8 ) | ( m_f = \frac{8}{a} ) |
| 5 | ( c_f + k = 4 ) | ( c_f = 4 - k ) |
| 6 | ( f(a) - g(a) = m_f a + c_f - k ) | ( 8 + 4 - k - k = 12 - 2k ) |
| 7 | ( k ) bilinmediği için ( f(a) - g(a) ) | ( 12 - 2k ) |
Doğru cevap: A) 4