Soru (özet): Saat 03:30’da teste başlayan Nurdan, test bitiminde akrep ile yelkovanın üst üste geldiğini görüyor. Buna göre Nurdan en az kaç dakika test çözmüştür?
Cevap:
Başlangıçta (03:30) yelkovan 30. dakikada yani $180^\circ$’dedir. Akrep ise 3{,}5 saat = $3{.}5\times30^\circ=105^\circ$’tedir.
t dakika sonra:
- Yelkovan açısı: 180 + 6t derece
- Akrep açısı: 105 + 0{.}5t derece
Üst üste gelme durumu (aynı açıda, 360° katları farkıyla) için
180+6t = 105+0{.}5t + 360k
eşitliğini yazıyoruz. Buradan
5{.}5t = 360k - 75
ve
t = \dfrac{360k-75}{5{.}5} = \dfrac{720k-150}{11}.
En küçük pozitif t için k=1 alırız:
t = \dfrac{720-150}{11}=\dfrac{570}{11}
dakika.
Bu yaklaşık 51{,}818\ldots dakika (yani 51 dakika \dfrac{9}{11}\times60 \approx 51 dakika 49{,}09 saniye).
Doğru seçenek: C) \displaystyle \tfrac{570}{11}.
Aşağıdaki duvar saatine göre saat tam 03.30’da test çözmeye başlayan Nurdan, test çözmeyi bitirdiğinde akrep ile yelkovanın üst üste geldiğini görüyor. Buna göre, Nurdan en az kaç dakika test çözmüştür?
Cevap:
Bu soru, saat problemleri kapsamında akrep (saat kolu) ile **yelkovan (dakika kolu)**nın üst üste gelmesiyle ilgilidir. Soruda saat 03:30’da test çözmeye başlayan Nurdan’ın, test bitiminde akrep ile yelkovanın üst üste geldiği anı bulmamız gerekiyor. Sonrasında bu iki zaman aralığı arasındaki farkı dakika cinsinden hesaplayacağız.
1. Temel Bilgiler
- Saatte akrep, saatte 360° / 12 saat = 30°/saat yani 0.5°/dakika hızla hareket eder.
- Yelkovan, dakikada 360°/60 dakika = 6°/dakika hızla hareket eder.
- Akrepin 3:30’daki konumu: Saat 3’te olan akrep pozisyonu (90° - yani 3*30°) + 30 dakika için hareketi (30 * 0.5° = 15°) toplamda 90° + 15° = 105°.
- Yelkovanın 3:30’daki konumu: 30 dakikada 6° * 30 = 180°.
Başlangıçta akrep 105°, yelkovan 180° pozisyonundadır. Aradaki açı
2. Süre Sonunda Üst Üste Gelme
Akrep ve yelkovan birbiri ardına üst üste gelmek için, aralarındaki açının 0° olması gerekir.
Akrep ve yelkovanın hızlarını ve hareketlerini temsil eden açılar şöyle gösterilebilir:
- Akrep açısı hareketi (dakika sonra):
- Yelkovan açısı hareketi (dakika sonra):
Burada t başlangıç zamanı dakika cinsindendir ve 03:30’dan sonraki süredir.
3. Üst Üste Gelme Denklemi
Üst üste gelme durumu, açı farkının 360°’nin katları olması durumudur:
veya
burada k bir tam sayıdır. Ancak ikinci kez üst üste gelme için k=1 geçerli olacaktır.
Öncelikle, ilk kez üst üste gelme için 0°’yi göz alalım:
Yerine koyarsak:
Süre negatif çıkıyor, yani bu saatten daha önce gerçekleşmiş.
Bu nedenle, k=1 olan durumu deneyelim:
– k=1 için denklem:
– k=-1 için denklem:
Sadece pozitif ve anlamlı olan t=51.8181 dakika dikkate alınır.
4. Sonuç
-
Nurdan, 03:30’dan sonra yaklaşık 51.818 dakika sonra akrep ile yelkovanın üst üste geldiği zamanı görür.
-
Bu yaklaşık olarak
5. Cevap Seçeneklerinde Kontrol
- Cevap seçenekleri arasında \frac{570}{11} dakikası geçen şık C şıkkıdır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç / Hesaplama |
|---|---|---|
| Akrep hızı | 0.5°/dakika | |
| Yelkovan hızı | 6°/dakika | |
| Başlangıç açısı (akrep) | 105° | |
| Başlangıç açısı (yelkovan) | 180° | |
| Başlangıç açılar arası fark | 75° | |
| Üst üste gelme denklemi | 180 + 6t - (105 + 0.5t) = 360 | 5.5t = 285 \Rightarrow t = \frac{570}{11} |
| En az süre | t = \frac{570}{11} dakika | Yaklaşık 51.82 dakika |
Sonuç: Nurdan en az \boxed{\frac{570}{11}} dakika test çözmüştür.