Mathbb R - 3 kümesinde tanımlı olan f fonksiyonu

Question Answer
1

mathbb{R} - \{3\} kümesinde tanımlı olan f fonksiyonu
f(x) = \frac{(a - 1)x^2 + ax + b}{x - 3}
biçiminde veriliyor.
f fonksiyonunun tanım kümesindeki her x gerçel sayısı için f'(x) = 0 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) -3
B) -2
C) -1
D) 0
E) 1

mathbb R - 3 kümesinde tanımlı olan f fonksiyonu f(x) = ((a - 1)x² + ax + b)/(x - 3)...
mathbb R - 3 kümesinde tanımlı olan f fonksiyonu f(x) = ((a - 1)x² + ax + b)/(x - 3)...1024×768 155 KB

2

Sabit Fonksiyon ve Türev İlişkisi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Tanımlı olduğu aralıkta türevi daima sıfır olan fonksiyonlar sabit fonksiyon belirtir (f'(x) = 0 \iff f(x) = c). Dolayısıyla rasyonel bir ifadenin türevinin her x için sıfır olması, pay kısmının paydanın bir sabit katı olmasını gerektirir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Sabit Fonksiyon Koşulunu Belirleme
Tanım kümesindeki her x \in \mathbb{R} - \{3\} için f'(x) = 0 olduğundan, f(x) sadeleştiğinde bir c sabit sayısına eşit olmalıdır:

f(x) = \frac{(a - 1)x^2 + ax + b}{x - 3} = c \quad (x \neq 3)

Buradan pay ifadesi, paydanın c katı olmalıdır:

(a - 1)x^2 + ax + b = c(x - 3) = cx - 3c

Adım 2 — Polinom Eşitliğinden a ve b Değerlerini Bulma
Eşitliğin her iki tarafındaki aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşitlenir:

  • x^2’li terim: Sol tarafta a - 1, sağ tarafta 0 olduğundan:
a - 1 = 0 \implies a = 1
  • x’li terim: a = c olduğundan:
c = 1
  • Sabit terim: b = -3c olduğundan:
b = -3 \cdot 1 = -3

Adım 3 — a + b Toplamını Hesaplama
Bulunan değerler toplanır:

a + b = 1 + (-3) = -2

:white_check_mark: CEVAP: B) -2 (a+b = -2)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir rasyonel fonksiyonun türevi her noktada sıfır ise, payın derecesi paydadan büyük olamaz; pay ile payda tam sadeleşerek sabit bir sayı vermelidir. Polinom katsayılarını eşitlemek bölümün türevi formülünü açmaktan çok daha hızlı ve hatasız sonuç verir.