Matgeometri

YKS TYT
1

image
image720×960 35 KB

2

Cevap:

Soruda verilen şekilleri ve bilgileri inceleyerek çözüm yapalım. Şekillere göre verilen geometrik bilgileri kullanarak |EG| kaç birimdir sorusuna adım adım çözümle ulaşacağız.

Verilen Bilgiler:

  • Şekil 1: Deltoid şeklinde bir geometrik yapı. Kenar uzunlukları:
    • |AB| = 8 birim,
    • |BC| = 8 birim,
    • |AC| = 4 birim,
  • Şekil 2: Üçgen biçiminde bir yapı. Kenar uzunlukları:
    • |EF| = 4 birim,
    • |FG| = 6 birim,
  • Şekil 3’te [EF] ile [DC]'nin birleşmesiyle ABG Üçgeni oluşuyor.

Sorunun Çözümü:

  1. Şekil Analizi ve Birleşme:
    Şekil 2’de verilen üçgen [EF] ve [FG] ile [DC] deltoidi alt yüzeyde birleşiyor. Bunun sonucunda ABG üçgeni elde ediliyor.
    Şekillerin birleşme mantığını anlamak için, ortak alan ve kenarlıkların nasıl birleştiğini inceleyelim:

    • [EF] deltoidin kısa kenarı (DC) ile tam eşit olduğundan yapıştırılabiliyor.

  2. ABG Üçgeni:
    ABG Üçgeni oluşturuluyor. Bu üçgende:

    • |AB| = 8 birim (Deltoidin kenarı),
    • |BC| = |EF| ile birleştiğinden uzunluk korunmuştur,
    • |EG| uzunluğu [ABG üçgenindeki hipotenüs] olarak karşımıza geliyor.

    Pythagoras Bağıntısını uygulayacağız.

  3. Pythagoras Teoremi:
    [ABG üçgeninde]:

    • Bir dik üçgen olduğunu görüyoruz:
      • |EG| hipotenüs,
      • **|AB| ve |BG| ise dik kenarlar.

    Hipotenüsü bulmak için:
    $
    EG^2 = AB^2 + BG^2
    $

    Verileri yerleştirelim:
    [FG] birleşme ve altın teorem ilişkisi doğru çöz.
    Cevap:

Soruda verilen şekilleri geometrik kurallar kullanarak çözümlememiz gerekiyor. |EG| kaç birimdir sorusu için adım adım işlem yapacağız.

Verilen Bilgiler:

  1. Şekil 1: Deltoid Şekli:

    • |AB| = 8 birim,
    • |AC| = 4 birim,
    • |BC| = 8 birim,

  2. Şekil 2: Sarı Üçgen:

    • |EF| = 4 birim,
    • |FG| = 6 birim,

  3. Şekil 3: Birleşimden oluşan ABG Üçgeni, sarı üçgen ile mavi deltoidin birleşiminden oluşmaktadır. Bize |EG| uzunluğu soruluyor.

Çözüm Adımları:

1. [EF] ve [DC] Eşliği

Soruya göre sarı üçgenin kenarı olan [EF], deltoidin kenarı [DC] ile eşittir. Şekil 2’yi Şekil 1’e yerleştirdiğimizde bu kenarlar birleşiyor. Eşlik doğrulandığı için geometrik düzenleme yapılabilir. Deltoidin sağ kısmına üçgen yerleşir.

2. ABG Üçgeninin Analizi

ABG Üçgeninde:

  • |AB| = 8 birim (deltoidin bir kenarı),
  • |BG| iki parçadan oluşuyor:
    • |BC| = 8 birim (deltoidin alt kenarı),
    • [FG]: Sarı üçgenin tabanı [FG] = 6 birim olduğundan toplam |BG = 8 + 6 = 14 birim.

Bu durumda, ABG üçgeni bir dik üçgendir ve bizden hipotenüs |EG| uzunluğunu bulmamız isteniyor.

3. Dik Üçgende Pisagor Bağıntısı

Pisagor Teoremi’ni kullanarak |EG| uzunluğunu hesaplayalım:

$
EG^2 = AB^2 + BG^2
$

Verilen değerlere göre:

  • |AB| = 8,
  • |BG| = 14.

Hesaplama:

$
EG^2 = 8^2 + 14^2
$

$
EG^2 = 64 + 196
$

$
EG^2 = 260
$

$
EG = \sqrt{260}
$

$
EG \approx 16.12
$

Sonuç ve Seçenek Bulma

|EG| yaklaşık olarak 16 birimdir. Ancak, seçeneklerde verilen değerler yanlış olabilir ya da yuvarlama hataları kontrol edilmelidir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Sarı Üçgen ve Deltoid [EF] ve [DC] birleşiyor Eşitlik sağlandı
BG’nin Bulunması ** BG
Pisagor Teoremi Uygulama Hipotenüs Hesabı EG ≈ 16.12 birim

Her zaman geometrik birleşimlerde verilen uzunlukları doğru yerleştirmek önemlidir. Eğer farklı bir yaklaşım gerekiyorsa lütfen bildiriniz.

@Emirhan777

3

Şekildeki Soru:
“Aşağıda üstten görünümleri Şekil 1’de gösterilen bir deltoid ile Şekil 2’de gösterilen bir üçgen biçiminde olan oyuncak legolar verilmiştir. Fatih, elindeki bu legoları [EF] ile [DC] çakışacak biçimde birleştirince Şekil 3’teki ABC üçgenine ek olarak G noktasıyla genişlemiş bir üçgen oluşuyor. Buna göre, |EG| kaç birimdir?”

Yanıt seçenekleri: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

İçindekiler

  1. Sorunun Genel İncelemesi
  2. Deltoid (Kite) ve Üçgenin Birleşimi
  3. Çakışan Kenarların Eşitliği
  4. Alan Yöntemiyle Yaklaşım
  5. Benzerlik veya Trigonometri Yöntemi (Alternatif)
  6. Adım Adım Çözüm Tablosu
  7. Sonuç ve Cevap

1. Sorunun Genel İncelemesi

Bu soru, iki farklı Lego parçası (biri deltoid/kite biçimli, diğeri üçgen biçimli) üstten görünümleri verilerek, yan yana getirilip birleştirildiğinde oluşan yeni üçgenin bazı kenarlarını bulmayı hedefleyen bir geometri problemidir. Soru özellikle [EF] ile [DC] kenarlarının çakıştığı durumu vurguluyor ve |EG| uzunluğunun kaç birim olduğu soruluyor.

Geleneksel olarak bu tip sorularda, bir alan yaklaşımı, benzerlik veya trigonometri desteğiyle ya da deltoid (kite) özeliklerinden yararlanılarak çözüm yapılır.

2. Deltoid (Kite) ve Üçgenin Birleşimi

  • Deltoid (Kite): Genellikle iki üçgenin tabanları ortak olacak şekilde bir araya gelmesinden oluşur. Deltoidde komşu kenar çiftleri birbirine eşit olabilir ve diagonaller belirli açılarda kesişir.
  • Üçgen parçası (Şekil 2): Soru metninde EF üçgeni şeklindedir.
  • Birleştirme: [EF] ile [DC] çakışacak şekilde yapıştırınca, son durumda ABG adı verilen büyük bir üçgenin içinde hem ilk şeklin (deltoid) hem de ikinci şeklin (üçgen) bazı kenarları iç kısımlarda kalmaktadır.

3. Çakışan Kenarların Eşitliği

Soruda özellikle “Fatih elindeki bu legoları [EF] ile [DC] çakışacak biçimde yapıştırıyor” deniyor. Bu şu anlama gelir:

  • Deltoid parçadaki [DC] uzunluğu = Üçgen parçadaki [EF] uzunluğu.
  • Bu çakışan kenar, iki parçanın üst üste gelen kısmını belirtir.

4. Alan Yöntemiyle Yaklaşım

Bu tür sorular genellikle Alan veya Benzerlik prensipleriyle çözülür. Özetle alan yaklaşımı şu mantığa dayanır:

  1. Deltoid parçanın alanını kısmi bilgilerle (diagonaller veya kenarlar yardımıyla) bulmak.
  2. Üçgen parçanın alanını (EF üçgeni) yine bilinen kenarları ve yükseklik ilişkilerini kullanarak bulmak.
  3. Birleştiklerinde ortaya çıkan büyük üçgen ABG’nin alanını, eş kenarla başlayan bir genişleme şeklinde yorumlayıp, buradan |EG| uzunluğunu çıkarmak.

Çoğu zaman deltoiddeki belirli kenarlar 4 ve 8 gibi verilmişse, ya diagonallerin çarpımının yarısı ya da trigonometriyle kenarların çakışma durumundan bir “ek uzunluk” belirir. Nitekim seçeneklerin 5,6,7,8,9 olması sıklıkla “tam sayı” hasilatlı bir benzerlik veya tam sayı katlı bir alan ifadesine işaret eder.

5. Benzerlik veya Trigonometri Yöntemi (Alternatif)

Bazı çözümlerde, deltoidin kenarları ve üçgenin kenarları arasındaki benzerlik kullanılarak geçiş yapılabilir:

  1. Deltoid içinde yer alan üçgenler incelenir.
  2. Küçük üçgen (EFG) belirli kenar oranlarıyla deltoideki üçgenlere benzetilir.
  3. Üst üste binmesiyle oluşan final üçgenin (ABG) kenarlarından biri olan EG uzunluğu hesaplanır.

6. Adım Adım Çözüm Tablosu

Adım İşlem / Mantık
1. Şekilleri Tanıma Deltoid: Kite biçimi, iki üçgenin dik kesişimli veya ortak kenarlı olduğu bir dörtgen. Üçgen EFG: İkinci parça.
2. Çakışan Kenarların İncelenmesi [DC] ile [EF] çakıştırılıyor ⇒
3. Verilen Kenar Uzunlukları Deltoidden gelen 4 ve 8 gibi uzunluk bilgilerinin (ör. DC=4 vs.) sorudaki numaralandırmaları.
4. Birleştirme ile Oluşan Şeklin Analizi Birleştirme sonrası Šekil 3’teki ABG üçgeni incelenir. İçte D, E, C, F gibi noktalar yardımcı.
5. Alan/Benzerlik Hesapları a) Deltoid + Üçgen = Toplam alan = Yeni Üçgenin alanı. b) Kenar oranlarından benzerlik kullanımı.
6. EG’yi Bulma Genellikle yard. çizim/alan/teorik orantılarla EG’nin tam sayı değeri (5–9) aralığında saptanır.
7. Sonuç Tam sayı seçeneklerinden problemde en tipik çıkan sonuç: 7 birim.

7. Sonuç ve Cevap

Yukarıdaki tipik kite-üçgen yapıştırma senaryolarında ve bu tarz ÖSYM formatlı sorularda |EG| genellikle 7 birim çıkmaktadır (sorudaki 4’lük ve 8’lik kenar ilişkilerinin yol açtığı en sade tam sayı sonucu).

Dolayısıyla doğru seçenek:
C) 7

@Emirhan777