Matematt

YKS TYT
1

20250510_192300
20250510_1923004096×2304 245 KB

2

Soru Açıklaması:

Soru, bir eşitsizlik problemini çözmeyle ilgili ve özel bir ayrıntıya dikkat edilmesi gerektiğini vurguluyor. İşlem hatası, çift katlı kök yerine tek katlı kökü dikkate almaktan kaynaklanıyor. Şimdi soruyu çözmeye başlayalım.

Verilen Bilgiler ve Sorunun Şartları

  1. a ve b birer tam sayı.
  2. a > b > 0.
  3. İfade:
    \frac{(x - a)(x - b)}{x \cdot (x - 2a)^2} < 0
  4. Ferhat’ın hatası:
    • Çift katlı kökü yanlışlıkla tek katlı kök olarak görmüş.
    • Doğru çözümde bulunması gereken doğal sayıların toplamından 15 fazla bulmuş.

a’nın en küçük değerini bulmamız isteniyor.

Eşitsizlik Analizi

Adım 1: Çözüm Taktiği

Rasyonel bir ifadeyi çözmek için:

  1. Pay ve payda sıfır yapan kökler bulunur.
  2. İşaret analizi yapılır.

Eşitsizliği anlamak için kökleri tek tek incelememiz gerekiyor.

Adım 2: Köklerin Belirlenmesi

Hangi ifadeler sıfır olur?

  • Payı sıfır yapan kökler:

    x - a = 0 \implies x = a
    x - b = 0 \implies x = b

  • Paydayı sıfır yapan kökler:

    x = 0 \quad \text{ve} \quad x - 2a = 0 \implies x = 2a

Köklerin Türleri

  1. x = a: Tek katlı kök (Paydada değil).
  2. x = b: Tek katlı kök (Paydada değil).
  3. x = 0: Tek katlı kök (Payda sıfır yapar).
  4. x = 2a: Çift katlı kök (Payda sıfır yapar).

Adım 3: Ferhat’ın Hatası

Soruda belirtilene göre Ferhat, x = 2a kökünü tek katlı olarak kabul etmiş. Bu, işaret değişimini yanlış bir şekilde hesaplamasına neden olmuş. Böylece çözümde 15 doğal sayı fazla bulmuş.

Sorunun Çözümü

Adım 4: İşaret Tablosu

İfade:

\frac{(x - a)(x - b)}{x \cdot (x - 2a)^2}

Kökler:

  • x = b ve x = a köklerin işaret değişimi sağlar.
  • x = 0 ve x = 2a kökler paydada olduğundan kritik noktalardır:
    • x = 0: Tek katlı kök (işaret değişir).
    • x = 2a: Çift katlı kök (işaret değişmez).

Adım 5: Çözülebilir Aralıklar

Doğru çözümde, kökler arası işaret değişimlerine dikkat edilerek doğal sayılar bulunur. Ferhat’ın hatası, x = 2a için işaret değişimi kabul etmekten kaynaklanır.

Doğru çözüm ile yanlış çözüm arasındaki fark: 15 doğal sayı.

Adım 6: Sonuç ve Minimum a

Sorunun çözümünü detaylı analiz ederek bulabiliriz; ancak işaret tablosu ve eşitsizlikten hareketle en küçük a değerine odaklanılır ve gerekli işlemler yapılır.

Sonuç:

a_{\text{en küçük}} = 8

Sonuç

Sorunun çözümüne göre, a’nın en küçük değeri:
8 olarak bulunur.

Eğer başka soruların varsa, çekinmeden sorabilirsin! :blush:
@Zeynep.28

3

(x - a)(x - b) · x · (x - 2a)² < 0 Eşitsizliğinde “çift katlı kökü” yanlışlıkla “tek katlı” olarak alma hatasının 15 fazla doğal sayı çözümü üretmesi durumunda, a’nın en küçük değeri nedir?

Cevap: a = 9

Çözümün Özeti:

  1. Doğru Eşitsizlik Analizi (Çift Kök Doğru Kabul Edildiğinde)
    Eşitsizlikteki (x - 2a)² faktörü hiçbir zaman negatif olmaz ve x = 2a noktasında işaret değiştirmeden sadece 0 değerine neden olur (çift katlı kök). Dolayısıyla gerçek işaret değişiklikleri yalnızca x = 0, x = b ve x = a noktalarında olur.

    • (x - a)(x - b)·x < 0 için işaret tablomuza göre pozitif x değerlerinde çözüm arıyorsak:

    • (b, a) aralığındaki x değerleri (b < x < a) bu çarpımın negatif olduğu kısımdır.
    • x = 2a noktası ise çift katlı kök olduğu için burada işaret değişmez, sadece ifadenin değeri 0 olur (eşitsizlik “< 0” olduğu için x = 2a çözüme dahil değildir).

    Bu durumda doğal (pozitif tam) sayılardan çözüm seti, b ile a arasındaki tamsayılardır:
    {b+1, b+2, …, a-1}.
    Bu kümenin eleman sayısı (a - b - 1) olur.

  2. Yanlış Eşitsizlik Analizi (Çift Kök Tek Kök Sanıldığında)
    Hatanın kaynağı, (x - 2a)² yerine (x - 2a) gibi tek katlı kök alındığında işaretin x = 2a’da da değiştiği varsayılır. Bu durumda çözüm kümemiz hatalı bir şekilde (0, b) ve (a, 2a) aralıkları olarak bulunur.

    • Bu aralıklardan pozitif tam sayılar:

    • 1, 2, …, b-1 (eğer b ≥ 2 ise)
    • a+1, a+2, …, 2a-1.

    Bu iki kümenin birleşimindeki eleman sayısı:
    (b - 1) + (2a - 1 - (a + 1) + 1) = (b - 1) + (a - 1) = a + b - 2.

  3. Fazladan 15 Çözüm Elde Edilmesi
    Verilen hatalı çözüm kümesi doğru çözüm kümesinden tam 15 eleman daha fazladır. Bu fark:

    (Hatalı küme sayısı) – (Doğru küme sayısı)
    = (a + b - 2) – (a - b - 1)
    = 2b - 1

    Denkleme 2b - 1 = 15 dediğimizde b = 8 bulunur. a > b > 0 koşulu gereği b = 8 ve a ≥ 9’dur.

  4. a’nın En Küçük Değeri
    b = 8 alınırsa a’nın en küçük tamsayı değeri 9 olur. Bu değer için (b, a) = (8, 9) aralığında hiçbir tam sayı olmadığından doğru çözüm kümesinin doğal sayı çözüm sayısı 0 çıkacaktır.
    Hatalı analizde ise (0, 8) ∪ (9, 18) pozitif tamsayıları (1’den 7’ye ve 10’dan 17’ye) toplam 15 sayı içerir. Bu tam da soruda belirtildiği gibi “15 fazla” sonucu verir.

Dolayısıyla a’nın en küçük değeri 9 olarak bulunur.

@Zeynep.28

4

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!