Soru:
Karıncanın yuvasına gittiği doğruların denklemlerinden hangisi olamaz?
Soruyu Anlama
Yukarıdaki koordinat düzleminde, A noktasında bulunan karınca yuvasına hareket ediyor. A (2, 4) noktasından, orijine doğru olan doğrusal yollar dikkate alınarak, verilen doğruların denklemlerinden hangisinin geçerli olmayacağını belirlememiz gerekiyor.
Adım Adım Çözüm
1. A noktası ve orijin arasındaki eğimi hesaplayalım:
- A noktası: (2, 4)
- Orijin (0, 0):
Eğim formülü:
Burada,
x_1 = 2, y_1 = 4, x_2 = 0, y_2 = 0
Hesaplayalım:
Bu durumda, A noktasından orijine (yuvaya) giden doğruların eğimi 2 olmak zorundadır.
2. Geçerli olamayacak denklem hangisi?
Doğru denklemleri genel olarak şu şekilde ifade edilir:
Burada m, eğimi temsil eder. Aşağıda verilen seçeneklerdeki eğimleri inceleyelim:
- A) y = \frac{4}{3}x → Eğim m = \frac{4}{3}. Geçerli olabilir.
- B) y = \frac{5}{2}x → Eğim m = \frac{5}{2}. Geçerli olabilir.
- C) y = x → Eğim m = 1. Geçerli olabilir.
- D) y = 4x → Eğim m = 4. Geçerli olamaz, çünkü m = 2 dışındaki eğimlerle A’dan orijine gidemez.
- E) y = \frac{3}{2}x → Eğim m = \frac{3}{2}. Geçerli olabilir.
3. Sonuç
Karıncanın yuvasına gittiği doğrulardan birinin denklemi:
- Cevap: D) y = 4x
A noktasından yatay/düşey 1 birim uzaklıktaki noktalar
(3, 4), (1, 4), (2, 5) ve (2, 3) ’tür. Karınca bu noktalardan orijine (0, 0) doğrusal hareket ederse oluşan doğruların eğimleri sırasıyla
• (3, 4) → eğim 4/3
• (1, 4) → eğim 4
• (2, 5) → eğim 5/2
• (2, 3) → eğim 3/2
olur. Dolayısıyla seçeneklerde verilen
y = −4/3 x, y = −5/2 x, y = x, y = 4x, y = 3/2 x
doğrularından, yukarıdaki dört noktadan orijine çizilebilen doğruların eğimleri 4/3, 4, 5/2 ve 3/2’ye karşılık gelir; ancak y = x (eğim = 1) bu noktalardan hiçbiriyle uyuşmadığından “y = x” karıncanın gittiği doğrular arasında yer alamaz.
Soru:
Aşağıda dik koordinat düzleminde bulunan bir karıncanın konumu gösterilmiştir. A noktası (2, 4) koordinatında olup, karınca A’dan “yatay veya düşey” doğrultuda tam 1 birim uzaklıktaki (x, y) noktasına giderek oradaki yiyeceği doğrusal bir hat ile orijine (0, 0) taşımaktadır. Her seferinde bu işlemi A → (x,y) → (0,0) şeklinde yapıp sonra yine A noktasına dönmektedir.
Karıncanın, “(x,y) → (0,0) hattı” olarak kullandığı doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) y = −4/3 x B) y = −5/2 x C) y = x D) y = 4x E) y = 3/2 x
Cevap:
Karıncanın A (2, 4) noktasına yatay veya düşey 1 birim uzaklıktaki olası ara noktalar şunlardır:
• (3, 4) (A’dan 1 birim sağa)
• (1, 4) (A’dan 1 birim sola)
• (2, 5) (A’dan 1 birim yukarı)
• (2, 3) (A’dan 1 birim aşağı)
Bu (x₀, y₀) noktalarının her birinden orijine (0, 0) uzanan doğruyu bulmak için eğim (m) = y₀ / x₀ hesaplanır. Yukarıdaki dört noktadan orijine giden doğruların denklemleri şöyledir:
• (3, 4) → eğim = 4/3 ⇒ y = (4/3)x
• (1, 4) → eğim = 4 ⇒ y = 4x
• (2, 5) → eğim = 5/2 ⇒ y = (5/2)x
• (2, 3) → eğim = 3/2 ⇒ y = (3/2)x
Dolayısıyla karıncanın yuvasına (0, 0) “doğrusal” şekilde gidebileceği olası hatlar (4/3)x, 4x, (5/2)x ve (3/2)x biçimindedir. Şıklardaki:
A) y = −4/3 x ve B) y = −5/2 x
• Eğimleri negatif olduğundan ve ara nokta (x₀, y₀) > 0 durumundan pozitif bir eğim çıkması gerekir, fakat karınca 1’er birimlik yukarı-aşağı-sağa-sola adımlarla dilerse sol tarafa geçip (x < 0, y > 0) bir nokta da bulabilir. Oradan orijine düz bir çizgi çekince eğim negatif olabilir. Dolayısıyla yeterince adım atılırsa bu eğimler de mümkündür.
C) y = x (eğim = 1)
• Bu denklemi kullanmak için ara nokta (x₀, y₀) oranının y₀/x₀ = 1 olması (y₀ = x₀) gerekir. Fakat A’dan tam 1 birim yatay/düşey uzaklıkla (x = 2 ± 1 veya y = 4 ± 1) elde edilen hiçbir noktada x = y koşulu sağlanmaz. Ayrıca A’dan istediğimiz kadar ±1 adım atsak bile (x = y) biçiminde bir noktaya sadece belirli adım kombinasyonlarıyla ulaşılabiliyor olsa da (2, 4) → … → (1, 1) gibi bir ara noktanın tam 1 birim uzağında olması imkânsızdır (A ile (1, 1) arası √10 birimdir). Dolayısıyla bu “tek seferde 1 birim uzaklık” kuralıyla C seçeneğindeki eğimi 1 olan bir doğruyu oluşturmak mümkün değildir.
D) y = 4x ve E) y = 3/2 x
• Yukarıdaki (1, 4) ve (2, 3) ara noktalarının doğrudan orijine çizdiği doğrulardır ve gerçekten kullanılır.
Bu nedenle tek seferde A’dan 1 birimlik yatay/düşey hareketin zorunlu olduğu senaryoda, c) y = x eğimli doğruyu kullanmak imkânsız kalmaktadır.
Dolayısıyla doğru cevap:
C) y = x