Matematik Problemi: Yolun İki Tarafına Dikilen Ağaç Sayısı
Soru İncelemesi
Yukarıdaki soruda, yolun sol ve sağ tarafına eşit sayıda ağaç dikildiği belirtiliyor.
- Sol taraf: Ağaçlar 5 metre aralıklarla dikiliyor.
- Sağ taraf: Ağaçlar 4 metre aralıklarla dikiliyor.
- Sağ tarafın sonunda 19 metre uzunluğunda boşluk kalıyor.
- Sol ve sağ taraf başlangıç ağaçları aynı hizadadır.
Sorulan: Yolun iki tarafına toplam kaç ağaç dikilmiştir?
Problem Çözümü:
1. Yolun sağ tarafında ağaç sayısını hesaplama
Sağ tarafında ağaçlar 4 metre aralıklarla dikilmiş ve sonunda 19 metre boşluk kalmış. Tamamını şöyle hesaplayabiliriz:
- Sağ tarafın uzunluğu 4’er metre aralıklarla hesaplandığında son aralık 19 metre boşluk hariç tutulacaktır.
- toplamda sağı ne olduğu a dedik ama çevirmek yanıtladık
Soru:
Aşağıdaki yolun sağ ve sol tarafına eşit sayıda ağaç dikilmiştir. Yolun sol tarafına 5 m aralıklarla, yolun sağ tarafına 4 m aralıklarla ağaç dikilmiştir. Sağ tarafa son ağaç dikildikten sonra 19 metre uzunluğunda boşluk kalmıştır. Sağ ve sol tarafa dikilen ilk ağaçlar aynı hizadadır. Buna göre yolun iki tarafına dikilen toplam ağaç sayısı kaçtır?
Cevap:
- Sağ tarafa ve sol tarafa dikilen ağaç sayısı aynı olsun ve bu sayı n olsun.
- Soldaki ağaçlar arasındaki mesafe 5 m olduğundan, en baştaki ağaçtan en sondaki ağaca kadar olan uzunluk
- Sol: 5 × (n - 1)
- Sağdaki ağaçlar arasındaki mesafe 4 m olduğundan, en baştaki ağaçtan en sondaki ağaca kadar olan uzunluk
- Sağ: 4 × (n - 1)
- Soruya göre, sağda son ağaç dikildikten sonra 19 m boşluk kalıyor. Yani tüm yolun uzunluğu sağ için
- 4 × (n - 1) + 19
- Soldaki son ağaç ise yolun bitimine kadar (boşluk kalmadan) dikildiğinden, yolun tamamı aynı zamanda soldaki son ağacın bittiği noktadır. Dolayısıyla:5 \times (n-1) \;=\; 4 \times (n-1) \;+\; 19
- Denklemi çözelim:5n - 5 = 4n - 4 + 195n - 5 = 4n + 155n - 4n = 15 + 5n = 20
- Her iki tarafta 20’şer ağaç olduğu için toplam ağaç sayısı:20 + 20 = \boxed{40}
Doğru yanıt: 40
Aşağıdaki yolun sağ ve sol tarafına eşit sayıda ağaç dikilmiştir. Yolun sol tarafına 5 m aralıklarla, yolun sağ tarafına 4 m aralıklarla ağaç dikilmiştir. Sağ tarafa son ağaç dikildikten sonra 19 m uzunluğunda boşluk kalmıştır. Sağ ve sol tarafta dikilen ilk ağaçlar aynı hizada olduğuna göre yolun iki tarafına dikilen toplam ağaç sayısı kaçtır?
Cevap:
İçindekiler
- Sorunun İncelenmesi ve Temel Bilgiler
- Değişkenlerin Tanımlanması
- Aritmetik Dizi Yaklaşımı
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Değerler ve Doğrulama
- Tablo ile Özet
- Kavramların Detaylı Açıklaması
- Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Çözümün Geniş Değerlendirmesi
- Başka Yöntemlerle Çözüm İncelemesi
- Sonuç ve Cevap
- Kısa Özet
1. Sorunun İncelenmesi ve Temel Bilgiler
Bu soruda bir yolun sağ ve sol kenarlarına belirli aralıklarla ağaçlar dikildiği veriliyor. Sol tarafta 5 metre aralıklarla, sağ tarafta ise 4 metre aralıklarla ağaçlar dikiliyor. İki taraftaki ağaç sayısı birbirine eşit. Sağ tarafta son ağacı diktikten sonra 19 metre boşluk kalıyor. İlk ağaçlar ise yolun başında aynı hizada (yani 0 noktasında) bulunmakta. Buradan hareketle, toplam ağaç sayısının kaç olduğu soruluyor.
Bu tip problemler genellikle aritmetik diziler yardımıyla veya eşitlik kurulumu yaparak çözülebilir. Karşılaşabileceğimiz zorluk, sorulan “toplam ağaç sayısı”nı bulmak için sol ve sağ kenarlardaki ağaç sayısını ayrı ayrı bulmamız (ya da doğrudan bir denklem kurmamız) gerektiğidir.
2. Değişkenlerin Tanımlanması
- L: Yolun toplam uzunluğu (henüz bilinmiyor).
- n: Her iki tarafa dikilen ağaç sayısı (aynı).
- d(sol) = 5 m: Sol taraftaki dikim aralığı.
- d(sağ) = 4 m: Sağ taraftaki dikim aralığı.
- Kalan mesafe (sağ) = 19 m: Sağ tarafta son ağaç dikildikten sonra kalan boşluk.
3. Aritmetik Dizi Yaklaşımı
Ağaçlar eşit aralıklarla dikildiğine göre, her kenardaki ağaç yerleşimleri aslında birer aritmetik dizi oluşturur. Örneğin:
- Sol kenardaki ağaçlar: 0, 5, 10, 15, … metrelerde.
- Sağ kenardaki ağaçlar: 0, 4, 8, 12, … metrelerde.
Bu konumlar her bir kenar için sabit bir farkla ilerlediğinden (5’er ya da 4’er metre), dizinin son teriminden yola çıkabiliriz.
4. Adım Adım Çözüm
4.1. Yolun Uzunluğunun Belirlenmesi
Yolun toplam uzunluğunu (L) doğrudan bilmiyoruz, ancak sorudaki bilgiler bize bunu bulmada yardımcı olur. Özellikle sağ tarafta son ağacın dikildiği noktadan sonra 19 metre kaldığı söyleniyor. Yani eğer sağ taraftaki son ağacın konumu x_{\text{son}}(\text{sağ}) ise şöyle yazarız:
x_{\text{son}}(\text{sağ}) + 19 = L
4.2. Ağaç Sayılarının Eşitliğinden Yararlanma
Sağ ve sol tarafta aynı sayıda ağaç var. Bu, n adet ağaç dikildiği anlamına gelir. Numerik olarak şöyle ifade edebiliriz:
- Sol taraftaki son ağacın yeri: (n-1)\times 5 (0’dan başladığımız için ilk ağaç 0 konumunda ve (n-1) aralığı kat ediyor).
- Sağ taraftaki son ağacın yeri: (n-1)\times 4.
Sol tarafta ek bir “kalan” mesafe bilgisi verilmemiş olduğundan, genellikle şu varsayım yapılır: Sol taraftaki son ağaç yolun bitiş noktasında (yani L konumunda) olsun. Bu, sorularda sık rastlanılan bir kuraldır. Aksi hâlde soruda sol taraftaki boşluk da belirtilirdi. Bu nedenle:
L = 5(n - 1).
4.3. Sağ Taraftaki Son Ağaç ve Kalan 19 Metre
Sağ tarafta son ağaç (n-1)\times 4 konumundaysa ve bunun üstüne 19 metre eklenince yolun toplam uzunluğuna ulaşılıyorsa:
4(n - 1) + 19 = L.
4.4. Sol Taraftaki Son Ağaç ve Toplam Uzunluğun Eşitliği
Yukarıdaki eşitliği, “Sol taraftaki son ağaç = Yolun toplam uzunluğu” bilgisiyle birleştirirsek:
5(n - 1) = 4(n - 1) + 19.
Buradan:
- Sol kenarın son ağacı = 5(n-1).
- Sağ kenarın son ağacı + boşluk = 4(n-1) + 19.
Bu ikisi eşit olacağı için:
5(n - 1) = 4(n - 1) + 19.
Denklemi çözelim:
[
5(n - 1) = 4(n - 1) + 19
]
[
5n - 5 = 4n - 4 + 19
]
[
5n - 5 = 4n + 15
]
[
5n - 4n = 15 + 5
]
[
n = 20.
]
Yani her iki tarafta da 20 ağaç vardır. Toplam ağaç sayısı ise bu durumda:
\text{Toplam} = 2 \times 20 = 40.
5. Örnek Değerler ve Doğrulama
- Eğer n = 20 ise sol tarafta ağaçlar 0, 5, 10, …, 5 \times 19 = 95 noktalarına dikilir. Bu durumda sol taraftaki son ağaç 95. metrede olur.
- Sağ tarafta ağaçlar 0, 4, 8, …, 4 \times 19 = 76 noktalarına dikilir. 76’nın ardından 19 metre daha boşluk kalması gerekir ki bu da 76 + 19 = 95 metredir. Yani yolun uzunluğu 95 m olur. Bu bütün bilgilerle tutarlıdır.
6. Tablo ile Özet
Aşağıdaki tabloda sol ve sağ kenar için ağaç konumlarını, aralıkları ve temel denklemleri özetliyoruz:
| Kenar | Aralık (m) | İlk Ağaç Konumu (m) | Son Ağaç Konumu (m) | ağaç Sayısı (n) | Ek Bilgi |
|---|---|---|---|---|---|
| Sol Kenar (5 m) | 5 | 0 | 5\times(n-1) | n=20 | Son ağaç = Yolun sonu |
| Sağ Kenar (4 m) | 4 | 0 | 4\times(n-1) | n=20 | Son ağaç + 19 m = Yolun sonu |
- Denklem: 5(n - 1) = 4(n - 1) + 19
- Çözüm: n = 20
- Toplam Ağaç Sayısı: 2n = 40
7. Kavramların Detaylı Açıklaması
7.1. Aritmetik Dizi Nedir?
Aritmetik dizi, terimleri sabit bir farkla artan ya da azalan dizilerdir. Burada:
- Sol kenarda: 0, 5, 10, 15, …, 5(n - 1)
- Sağ kenarda: 0, 4, 8, 12, …, 4(n - 1)
Bu “sabit fark” sırasıyla 5 m ve 4 m’dir.
7.2. Dizilerde Son Terim Formülü
Aritmetik bir dizide n terim varsa, ilk terim a_1 ve ortak fark d şeklinde tanımlanırsa, son terim a_n şu şekilde yazılır:
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Bu soruda ilk ağaç konumu a_1 = 0 olarak alınır. Bu nedenle son terim (n-1)\times d olarak belirlenir.
7.3. Eşit Ağaç Sayısı Şartının Etkisi
Soruda en kritik nokta, sol ve sağ kenarın ağaç sayısının aynı olması. Bu sayede:
- İki tarafta da dizi uzunluğu (terim sayısı) aynı: n.
- Son terimlerin konumu farklı olmakla birlikte, aradaki ilişki yine bu n değeri üzerinden kuruluyor.
7.4. Gerçek Hayatta Benzer Uygulamalar
Bu tür problemsel yaklaşımlar genel olarak:
- Sokak aydınlatma direklerinin aralıklı dikimi,
- Bahçe veya park düzenlemeleri,
- Yol kenarı bariyer sistemleri,
gibi konularda markajlama, düzenleme ve maliyet hesaplamaları için kullanılır. Her iki tarafa dengeli şekilde ekim veya yerleştirme yapmak estetiktir ve bazı standartlara uyumu gerektirir.
8. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Yanlış Diziliş Varsayımı: Bazı öğrenciler son ağaçların yolun sonunda aynı noktada olduğunu düşünmeyip “sol tarafta da 19 m boşluk olabilir” gibi ek varsayıma giderler. Soruda bu açıkça belirtilmediği için genelde “sol tarafta boşluk yok” varsayımı yapılır.
- Ağaç Sayısı vs. Aralık Sayısı Karıştırma: Dikilen ağaç sayısı n olsa da, aralık sayısı $(n-1)$’dir. Bu nüans, denklemleri kurarken önemlidir.
- İlk Ağaç Hesabı: İlk ağaç 0 konumundan başladığı için formüle (n-1) ile girer, n ile değil.
- 19 Metreyi Aralık Olarak Yanlış Yorumlamak: 19 metrenin de yeni bir dikim aralığı sanılması, gene hatalı bir yaklaşımdır. Metinde “boşluk” olarak tanımlanmıştır.
9. Çözümün Geniş Değerlendirmesi
9.1. Neden 5’er ve 4’er Metre Aralığı?
Soru, öğrencinin temel aritmetik dizi ve denklem kurma becerisini ölçmek üzere tasarlanmıştır. 5 m ve 4 m gibi görece yakın sayılar, ileride buluşacakları veya sonlanacakları noktanın kolay bulunmasına yardımcı olur.
9.2. Neden 19 Metre Boşluk?
19 metre, denklemde sabit bir fazlalık olarak sisteme giriyor; bu sayede iki dizinin son terimleri arasındaki farkı sayısal olarak bağlayabilmemizi sağlıyor.
9.3. Örnek Bir Senaryo
Gerçek bir yolda farz edelim ki yol 95 metre olsun. Sol kenara 5’er metre aralıkla, sağ kenara 4’er metre aralıkla ağaç dikmek istiyoruz ve başlama noktası ikisi için de 0 olsun. Bu koşullarda:
- Sol kenarda ilk ağaç (0. m) ve son ağaç (95. m) dahil 20 ağaç,
- Sağ kenarda da ilk ağaç (0. m) ile son ağaç (76. m) arasında 20 ağaç. 76’dan sonra 19 m boş kalıp 95. metrede yol bitiyor.
Bu, sorunun tam yanıtını ve mekânsal düzeni doğruluyor.
10. Başka Yöntemlerle Çözüm İncelemesi
10.1. Grafiksel Yöntem
Bir sayısal eksen üzerinde sol kenarı 5’er metre, sağ kenarı 4’er metre aralıklarla işaretleyip, sağ kenarın son noktasından 19 m öteye kadar uzatarak, her ikisinin de kaç ağaçta “bitmiş” göründüğünü inceleyebilirsiniz. Grafiksel yaklaşım, özellikle küçük sayılar için hızla çözüme götürür.
10.2. Deneme-Yanılma Yöntemi
Önce 10 ağaç, 15 ağaç, 20 ağaç vb. farklı seçenekler deneyerek “Sağ kenarın son ağaç noktası + 19” değerinin sol kenarın son ağaç noktasına eşit olduğu durumu arayabilirsiniz. Ancak bu yöntem manuel olarak uzun sürebilir. Denkleme göre çözüm çok daha hızlıdır.
11. Sonuç ve Cevap
Yukarıdaki tüm analizlerden sonra fark ediyoruz ki, sorunun kritik eşitliği:
5(n - 1) = 4(n - 1) + 19
bize n=20 sonucunu vermektedir. Her iki tarafta 20’şer ağaç olduğuna göre, toplam ağaç sayısı:
20 + 20 = 40’tır.
12. Kısa Özet
- Sol kenarda 5 m aralıkla, sağ kenarda 4 m aralıkla aynı sayıda ağaç dikiliyor.
- Sağ tarafta son ağaçtan sonra 19 m boşluk kalıyor.
- İlk ağaçlar başlangıçta aynı hizada, bu da dizilerin başlangıç noktasının 0 olduğunu gösteriyor.
- Ağaç sayısı n olsun; sol kenarın son ağacının konumu 5(n-1), sağ kenarın son ağacının konumu 4(n-1).
- Sağ kenar son ağacının konumuna 19 ekleyince, sol kenarın son ağacının konumuna yani yolun bitişine eşit oluyor:
$$5(n-1) = 4(n-1) + 19.$$ - Denklemin çözümüyle n=20 elde ediliyor. Yani sol kenarda 20 ağaç, sağ kenarda 20 ağaç var, toplam 40 ağaç dikilmiştir.
Cevap: 40